黏弹性阻尼隔振系统动力分析与优化设计

盖盼盼， 徐赵东， 吕令毅， 黄兴淮， 戴 军

(东南大学 土木工程学院，南京 210096)

基础隔振(震)是目前技术最为成熟、应用最为广泛的结构振动控制策略之一，隔振装置的作用机制相当于高频滤波器，只将一定范围的低频振动信号输入上部结构中，从而降低结构的动力响应[1-3]。现有的隔振装置常用碟形弹簧、螺旋弹簧或者橡胶垫作为主要的工作原件，以提供足够低的刚度，但随之带来隔振装置的过大变形及隔振系统的不稳定性，尤其对于竖向隔振[4]。为此，各类阻尼部件被设置在隔振装置内部提高隔振系统的整体性能。

贾俊峰等[5]通过设置菱形钢板阻尼器提高隔震装置的竖向阻尼性能，试验验证了装置的有效性。赵亚敏等[6]采用不同碟形弹簧的组合，实现了装置刚度降低和阻尼比提高的双重目标。Xu等[7]设计了含有黏弹性阻尼器的多维隔减震支座并进行了振动台实验，试验结果表明，设置的黏弹性阻尼器可以有效降低结构在共振频率下的竖向加速度响应。朱俊涛[8]设计了含有磁流变弹性体的精密平台复合隔振系统，实现了宽频激励下平台响应的有效抑制。Fujita等[9]使用软钢阻尼器作为竖向隔振机制中的阻尼元件，振动台试验表明隔振结构的竖向加速度峰值得到有效的控制。Chae等[10]设计了含有磁流变阻尼器的隔振床台，试验结果表明该系统可以显著减小振动幅值。

相比其他阻尼部件，黏弹性阻尼器不仅能够提供充足的阻尼，还能贡献一定的刚度，在隔振装置设计中有着独特的优势。黏弹性材料的力学性能存在着显著的频率依赖性，进而对隔振系统的动力特性产生影响，但此影响并没有得到足够的重视，相关的研究成果较少。本文基于黏弹性材料的分数阶导数开尔文模型，建立了考虑频率依赖性的隔振系统单自由度模型，定义黏弹性影响系数确定了隔振系统的自振频率和等效阻尼比，提出了通过优化弹性单元与黏弹性单元的刚度比来实现最优隔振的设计方法。

1 隔振系统理论模型

1.1 隔振装置

本文所研究的隔振装置由弹性单元和黏弹性单元组成，其构成的隔振系统力学模型如图1(a)所示，其实际构造参照图1(b)。隔振装置在系统重力作用下会产生一定的静位移，该位移与隔振系统的静态频率存在如下关系

(1)

式中，α为荷载安全系数，g为重力加速度，wo为隔振系统的静态频率。从中可以看出，静态频率越低，装置产生的静位移越大，由于构造形式的特点，圆筒式黏弹性阻尼器不能提供和螺旋弹簧相当的变形空间。所以，通过设计螺旋弹簧与圆筒黏弹性阻尼器的高度差，将静位移分为两部分Δ1和Δ2，前者为螺旋弹簧单独产生的静位移，后者为弹簧和圆筒阻尼器共同承担的静位移，与设计静位移的关系表示如下

(2)

式中，κ为螺旋弹簧与黏弹性阻尼器的刚度比，决定了Δ1和Δ2如何分配，κ的取值取决于隔振目标。这样的构造设计弥补了圆筒阻尼器的变形空间有限的缺陷，在实际工程中，当静荷载施加完成，可通过拧上螺杆上的紧固螺栓进而实现动力荷载下螺旋弹簧和圆筒黏弹性阻尼器的共同变形，如图1(b)所示。

1.2 数学模型建立

螺旋弹簧在动力荷载作用下产生竖向变形，产生的恢复力与位移幅值呈正比；而圆筒黏弹性阻尼器在动力荷载下产生剪切变形，其提供恢复力的频域表达形式为

(a) 力学模型

(b) 装置简图

(3)

(4)

(5)

αt=10-12(t-t0)/[525+(t-t0)]

(6)

式中，q0、q1和r为黏弹性材料的弹性系数、黏性系数和分数阶的阶数；αt、t和t0为温度转换系数、环境温度和参考温度；w为激励频率。从式(4)和(5)中看出，G1和η均是激励频率的函数，表现为典型的频率依赖性，而q0可以看作是静载下黏弹性材料的剪切储能模量。为了后续分析的统一性，可以将螺旋弹簧等效为阻尼比为零的黏弹性阻尼器，根据力和位移的协调关系，并联的多个黏弹性阻尼器又可以等效为新的黏弹性阻尼器，等效的材料参数可以写为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

图2 隔振系统的隔振效率曲线

2 频率依赖性的影响

2.1 黏弹性影响系数

(12)

(13)

隔振系统的自振频率和截止频率需要求解如下非线性方程

(14)

式中，μ=w/w0为所求解的无量纲量。为了简化方程(14)的求解，定义β=μ/φ来代替μ作为所求量代入式(14)得

(15)

(16)

将上式代入式(15)得到式(17)，将非线性方程的求解简化为了关于β的一元二次方程的求解

(17)

2.2 数值验证

为了验证和分析所定义的黏弹性影响系数，选取文献[11]中的黏弹性材料作为设计材料，其分数阶导数开尔文模型的参数为q0=6.2×105Pa、q1=9×104Pa、r=0.5、t0=100 ℃和t=25 ℃，暂不考虑螺旋弹簧的贡献，即κ=0。图3为该黏弹性材料在不同加载频率下力学性能指标。从图中看出，G1和η均随着激励频率的增大而明显增大，同时发现η在低频区域内具有较大的数值，可以提供足够的阻尼比，提高隔振系统的整体稳定性。

图3 不同加载频率下黏弹性材料的力学指标

图4 不同静态名义频率下黏弹性影响系数的解析解与近似解

为了进一步体现频率依赖性的影响，图5给出了考虑、部分考虑和不考虑频率依赖性的隔振效率曲线。从图中看出，G1的频率依赖性会使隔振效率曲线的变宽，这与图4给出结果一致；另一方面，η的频率依赖性促使了共振峰值的降低，但此效应的实现是建立在G1的频率依赖性的基础上，其原因是η会随着加载频率的增大而增大，而共振峰值的大小是由共振频率下的η所决定的，共振频率则会受到G1的频率依赖性所影响。

图5 考虑与不考虑频率依赖性时隔振效率曲线对比图

3 刚度比优化分析

基于上述分析，可以认为黏弹性影响系数的大小实际上表征着G1和η随激励频率变化的剧烈程度。从式(7)、(8)和(9)可以看出，在隔振系统的静态频率保持不变的前提下，当弹性单元与黏弹性单元的静态刚度比κ增大时，G1和η的频率依赖性减弱，即黏弹性影响系数减小，同时隔振系统的阻尼比也相应减小；当刚度比κ减小时，黏弹性影响系数和隔振系统的阻尼比则会增大。也就是说，刚度比κ的取值决定了隔振效率曲线的形状以及峰值的大小。

本节讨论输入基底激励为宽频白噪声的最优刚度比，隔振目标分为整体性目标和局部性目标。整体性目标是指隔振系统在全频率带下的隔振效果最优；局部性目标是指隔振效率曲线的峰值最小。本文，整体性目标的目标函数定义如下

(18)

(19)

图6以目标函数值/目标最小值作为归一化函数值，比较了不同刚度比κ取值下的整体目标函数和局部目标函数。从图中可以看出，式(18)和式(19)给出了相近的最优刚度比的数值，为3～4左右，说明式(19)可以用来评估含有黏弹性单元的隔振装置的整体隔振效率，同时该式的计算量很小，所用的参数均可以通过求解黏弹性影响系数获得；在获得整体隔振效率下最优刚度比的同时，也能给出局部隔振效率下最优刚度比。对于局部隔振效率，黏弹性阻尼器所占比例越大，峰值越小，但不可避免地带来放大区域拓宽的缺陷，在某些特殊窄频带的激励下，可以采用此种隔振目标函数。

图6 不同刚度比下的整体目标函数和局部目标函数

4 结 论

本文基于分数阶导数开尔文模型，建立了含有黏弹性单元的隔振系统单自由度模型；定义了黏弹性影响系数表征黏弹性材料频率依赖性对隔振系统性能参数的影响程度；提出通过优化线性单元与黏弹性单元的刚度比实现隔振系统的较优隔振，得到如下结论：

(1) 相比于弹性隔振系统，加入的黏弹性单元显著提高了隔振系统的阻尼比，增大了隔振系统的自振频率，拓宽了隔振效率曲线中的放大区域。

(2) 黏弹性材料的剪切储能模量的频率依赖性是使隔振效率曲线的变宽的主要原因，损耗因子的频率依赖性促使了曲线峰值的降低，但此效应的实现是建立在剪切储能模量的频率依赖性的基础上。

(3) 弹性单元与黏弹性单元的刚度比决定了系统的隔振效率，当输入激励为宽频白噪声，刚度比取为3～4左右可以获得较优的整体隔振效率。