初中平面几何距离最短问题的探讨

广西贵港市平南县大安镇第四初级中学 黄旭林

数学知识源于生活，用于生活，特别是《义务教学数学课程标准》提出，要实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标。在生活中存在求距离最短的问题，以节约成本，所以距离最短的问题，也成为考试内容之一，是有点难度的。为了攻克初中平面几何中的求距离最短的问题，经过我不断的探讨和实践，在教学中，我认为要从以下几方面入手：

一、弄懂平面几何中距离最短问题的解题原理

初中数学教材里提到，“两点之间线段最短”和 “垂线段最短”这两个公理是求初中平面几何中距离最短的问题的依据。距离最短问题实质上就是这两个公理的灵活运用。

1.“两点之间线段最短”的应用可分为三种类型

（1）如图1，点A与点B分别在直线l的两侧,在l上有一个动点P，求使AP＋BP的值最小。

直接连接点A和点B所得线段交直线l于点P,根据“两点之间线段最短”此时AP＋BP的值最小为AB。

（2）如图2，点A与点B分别在直线l的同侧,求在l上有一个动点P使AP＋BP的值最小。

作A关于直线l的对称点C,连接BC交直线l于点P，根据“两点之间线段最短”此时PC=PA,AP＋BP的值最小为PC+BP=BC。

（3）如图3，A村和B村分别在一条河的两侧，河的两岸互相平行并且宽度为a，求在A村和B村之间河上修一条桥，使A村通往B村之间的路程最短,求桥的位置。

此题比前面1.（1）类型多了一条桥，可以过点A作AC垂直于河边，使AC=a,然后连接CB,交近B村的河边的点D,过点D作线段DE垂直河边交另一河边于点E，这时DE就是桥的位置，因为四边形ACDE是平行四边形，AC=DE,AE=CD,此时A村和B村之间的路程最短为AE+ED+DB=AC+CB

2.“垂线段最短”的应用

如图4，A村要修一条大路接通一条笔直公路l，怎样修才路线最短呢？

过点A作线段AP垂直于直线l,垂足为P,根据“垂线段最短”， 得垂线段AP最短，垂线段AP就是要修路的地方。

二、求解平面几何中距离最短问题，关键在于找出关键“点”的位置

平面几何中距离最短的问题，常常以动点来出现在题目中。点的位置确定根据是线与线相交于点。如果两点分别在一条线的两边，直接连接这两点，形成一条新的线段，它与原线段（动点要求在的线段）它们的交点，就是关键的“点”； 如果两点都在一条线的同侧，可以通过作其中一点关于原线段（动点要求在的线段）的对称点，连接这个对称点与另一个点所得的线段与原线段相交，它们的交点，就是关键的“点”，之后把折线通过轴对称转换成在同一线段，这两点的距离即为最小值。至于求直线外一点到这条直线之间的最短距离，直接过这点作这条线的垂线段就得了，垂足就是关键的“点”。如何寻找这些关键“点”呢？下列以案例说明：

1.“两定点，一动点”

如图5，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，AP+EP的最小值为______.

分析：题中P为BC边上的任一点，只有点P在点A关于BC对称点和点E的连线与BC的交点，此时的交点是AP+EP的值最小的关键“点”。

解：如图6，作A关于BC的对称点F，连接EF交BC于点P，则EF就是所求的最短距离，再过点E作EO∥BC，交AB于点O，

2.“一定点，两动点”

分析：因为PQ是圆O的切线，连接QO得OQ⊥PQ，根据勾股定理有PQ2= O P2-OQ2,OQ是圆O的半径为1，OP最小时OP2也最小，因为点P在AB上，所以根据“垂线段最短”，过点O作PO⊥AB,垂足为点P.此时的点P是使PQ最小值的关键“点”

解：如图8，连接OQ，过点O作PO⊥AB,垂足为点P

∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，

三、建立平面几何最短距离问题的数学模型

生活中的求最短距离问题，通过抽象成为几何中的距离最短问题，从上面第一、第二大点分别懂得了求平面几何最短距离问题的解题原理和通过轴对称作图确定关键“点” 把折线通过等量代换转化成同一条直线上的线段，或者通过“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，然后运用数学语言和数学方法表达出来，并加以计算，通过抽象，建立起一种近似的解题方法，建立起求平面几何最短距离问题的数学模型，能够看到类似题型，马上知道基本的解题思路。

四、强化平面几何中的距离最短问题的典型题目训练，提高学生的数学素养

数学课教学本质，就是数学思维训练课，让学生亲身经历并且通过分析问题，解决问题，甚至在失误中纠正错误过程中，培养学生解题能力。平时，教师针对平面几何中的距离最短问题，多积累些典型的题目，选择有代表性的题目先进行例题讲解，总结出解题规律，再进行套题练习，让学生独立完成，从而熟悉距离最短问题的题型，深刻领会解距离最短问题的理论，从而更好地把平面几何中的距离最短问题应用于现实生活中来。