擂题(119)的修正

重庆市长寿龙溪中学 (邮编：401249)

擂题(119) 已知正数x,y,z满足x≤y≤z，又△ABC的三个内角A,B,C满足A≥B≥C．求证：

xcosA+ycosB+zcosC

这个命题并不正确.我们将给出一个修正后的结论.

解答由二倍角公式易知待证的两个不等式均等价于：

但这个不等式存在反例，比如：

显然上述x,y,z,A,B,C满足题设条件.

现在令ε，δ，α，β→0，可知：

xcosA+ycosB+zcosC→0+0+1=1.

这表明：此时待证式不成立.

不过有如下修正结论.

命题在擂题(119)条件下，有

证明在三角形嵌入不等式

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC中作代换

可知第一个不等号成立.

由题设知：x≤y≤z，cosA≤cosB≤cosC. 则可由Chebyshev不等式得：

结合三角形中熟知的不等式

即知第二个不等号成立.证毕.

评注(评注人：郭要红;时间:2019.01.19)本擂题收到攻擂稿件7份，其中3份是对擂题(119)的否定，依时间顺序，作者分别是吴波(重庆市长寿龙溪中学 401249，2018年11月11日)，李文明(福州华侨中学 350004,2018年11月19日)，杨志明(广东广雅中学 510160，2018年11月24日).吴波老师是本擂题的获奖者.