非线性偏微分方程的精确行波解

王书敏，薛瑞梅，姚若侠

(陕西师范大学 计算机科学学院，陕西 西安 710119)

0 引 言

20世纪60、70年代，人们对非线性问题共性的研究形成了一个交叉学科—非线性科学[1]。利用计算机符号计算[2]和自动推理技术，非线性科学研究取得了巨大的进步。目前，国际上比较有代表性的符号计算软件有:MACSYMA，REDUCE，mu-MATH，Maple，Mathematica，Matlab，Python等。Maple是由加拿大滑铁卢大学和Maplesoft公司共同研发的科学计算软件，内置高端技术解决建模和仿真中的数学问题，具有强大的符号计算和数值演算功能，以及交互式编辑环境。

对非线性偏微分方程的研究是非线性科学研究的重要分支，涉及生物学[3]、物理学[4]、力学[5]以及计算机科学[6]等领域。求解非线性偏微分方程的精确行波解是其中的一部分，现有的求解方法有：齐次平衡法[7-8]、指数函数法[9-11]、反散射变换法[12]、Darboux变换法[13]、辅助函数法[14]等。

文中应用Maple软件的PDEtools工具包进行辅助函数算法的应用，plots工具包模拟方程解的三维图形。通过修正算法中参数m的取值范围，研究Benjamin-Bona-Mahony方程(BBM方程)[15]行波解的变化。BBM方程是由Benjamin、Bona和Mahony于1972年研究提出的一个正则化的非线性长波方程，作为改进的KdV方程，主要用于对1+1维上单向传播的小振幅重力波进行建模。

1 修正的辅助函数算法分析

采用辅助函数算法求解如下形式的非线性偏微分方程：

P(u,ut,ux,uxt,uxx,utt,…)=0

(1)

其中，u=u(x,t)是势函数；P是关于u(x,t)及其各阶偏导数的多项式，具体步骤如下：

步骤1：利用行波变换u(x,t)=u(ξ),ξ=kx+ct，其中ξ为行波变量，c为波速，将方程1转换为如下常微分方程：

P(u,u',u'',…,u(n))=0

(2)

步骤2：通常，假设式2有如下形式的解：

(3)

文中修正m的取值范围，即假定式2有如下形式的解：

(4)

其中，ai是待定常数；m可以通过齐次平衡法求得。

假设f(ξ)满足辅助常微分方程：

f(ξ)'=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

方程5具有如下不同形式的解，其中C0是积分常数。

步骤3：两种情形下，分别将式3和式5、式4和式5代入式2，合并方程左端关于f(ξ)的多项式，并令各幂次项系数等于零，得到关于k,c,ai的代数方程组。

步骤4：借助Maple求解步骤3中的代数方程组，将求得的参数k,c,ai和式5的解代入式3和式4，即可得到非线性偏微分方程(式1)的行波解。

2 算法应用与实现

调用Maple软件的PDEtools工具包，根据第1节中的算法步骤，考虑如下形式的BBM方程[15]。

ut+αux+βuux-γuxxt=0

(6)

其中，α,β和γ是非零任意常数，将行波变换u(x,t)=u(ξ),ξ=kx+ct代入式6可得到如下常微分方程:

cu'+αku'+βkuu'-γck2u'''=0

(7)

利用齐次平衡法确定m=2。

情形1：将m=2代入式3，式7有如下形式的解：

u(ξ)=a0+a1f(ξ)+a2f(ξ)2

(8)

将式8和式5代入式7中，按照前述方法，Maple符号计算代码如图1所示：

图1 Maple符号计算代码

得到一个代数方程组并求解，得到参数k,c,ai(i=0,1,2)的解如下:

a1=a2λ,a2=a2

将参数解和辅助方程(式5)的解代入式8，即可获得BBM方程的精确行波解，其中ξ=kx+ct。调用Maple软件的plots工具包，设置参数值，即可得到解的三维图。

取k=1,a2=1,μ=-12,α=1,γ=1,β=1,C0=0,对应的三维图如图2所示。

图2 三维图(1)

解5：当λμ≠0,λ2>4μ时

取k=1,a2=1,λ=4,μ=3,α=1,γ=3,β=1,C0=1,对应的三维图如图3所示。

图3 三维图(2)

解6：当λμ≠0,λ2<4μ时，

情形2：把m=2代入修正m取值范围的式4，则式7解的形式如下：

u(ξ)=a-2f(ξ)-2+a-1f(ξ)-1+a0+

a1f(ξ)+a2f(ξ)2

(9)

将式9和式5代入式7，具体求解过程及大致Maple代码如上所述，求得参数k,c,ai(i=-2, -1,…,2)的四组解：

第一组解：

第二组解：

第三组解：

第四组解：

对比以上四组参数解，第一组和第三组中a-2和a-1取值为零。研究表明，第一组和第三组参数解求得的BBM方程行波解与情形1获得的方程行波解在形式上相似。故以第二组解为例，求解并获得BBM方程的精确行波解如下，其中ξ=kx+ct。

解1和解2两种情况求得的解分别为零和常数，以下不做列举。

解5：当λμ≠0,λ2>4μ时，

u(x,t)=

解6：当λμ≠0,λ2<4μ时，

u(x,t)=

取k=1,λ=4,μ=5,α=2,β=1,γ=1,C0=1，对应的三维图如图4所示。

解7：当λμ≠0,λ2=4μ时，

取k=1,λ=4,μ=4,α=2,β=1,γ=1,C0=1，对应的三维图如图5所示。

图4 三维图(3)

图5 三维图(4)

3 结束语

借助符号计算系统Maple的PDEtools工具包计算BBM方程精确行波解，通过修正辅助函数算法，研究方程解的变化。对比修正参数m取值范围前后，情形1获得一组参数解，情形2获得四组参数解，进而情形2求得了更为丰富的方程行波解。通过plots工具包，情形2求得的方程解的三维模型图更加有利于人们对非线性现象的探究。