全国名校抛物线拔高卷（B 卷）

■河南省汝阳一高 刘俊报

一、选择题

2.抛物线y2=2p x(p＞0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p=( )。

3.如图1,在同一平面内,A、B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线A B交圆A于点P,过P作圆A的切线l,当变化时,切线l与圆B的公共点的轨迹是( )。

图1

A.圆 B.椭圆

C.双曲线的一支 D.抛物线

4.已知m,n∈R,则“m n＜0”是“抛物线m x2+n y=0的焦点在y轴正半轴上”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B,设|A F|=m,|B F|=n,则m+n的最小值为( )。

6.已知抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠A F B=60°。设线段A B的中点M在准线l上的投影为N,则( )。

7.抛物线x2=8y的焦点为F,过点F的直线交抛物线于M、N两点,点P为x轴正半轴上任意一点,则

A.-20 B.12 C.-12 D.20

8.如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,点F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=( )。

A.n+10 B.n+20

C.2n+10 D.2n+20

9.F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于A,与抛物线的准线相交于B,若( )。

10.过抛物线C:y=x2的焦点且垂直于y轴的直线与抛物线C交于A,B两点。关于抛物线C在A,B两点处的切线,有下列四个命题,其中真命题有( )。

①两切线互相垂直;②两切线关于y轴对称;③过两切点的直线方程为;④两切线方程为y=±x-1。

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

11.已知点A是抛物线y2=2p x(p＞0)上的一点,若以其焦点F为圆心,以|F A|为半径的圆交抛物线的准线于B、C两点,设∠B F C=θ且满足2 s i n2θ+s i nθ-s i n2θ=当△A B C的面积为时,则实数p的值为( )。

12.已知拋物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A,B两点,A B|=6,则A B中点到y轴的距离是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

13.若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F、M且与l相切的圆共有( )。

A.0个 B.1个

C.2个 D.4个

14.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|A F|=4,则|P A|+P O|的最小值为( )。

15.点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A、B两点,且|P A|=2|A B|,则称点P为“δ点”。下列结论中正确的是( )。

A.直线l上的所有点都是“δ点”

B.直线l上仅有有限个点是“δ点”

C.直线l上的所有点都不是“δ点”

D.直线l上有无穷多个点是“δ点”,但不是所有的都是“δ点”

16.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,且直线l的倾斜角θ,点A在x轴上方,则|F A|的取值范围是( )。

17.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于两点,则的值为( )。

18.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△F PM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时,其面积为( )。

19.如图2,在正方体A B C D-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点,PM垂直A D于M,|PM|=|P B|,则点P的轨迹为( )。

A.线段

B.椭圆的一部分

C.抛物线的一部分

D.双曲线的一部分

图2

20.已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为抛物线C的焦点,若|F A|=2|F B|,则k的值为( )。

21.已知点A是抛物线M:y2=2p x(p＞0)与圆C:x2+(y-4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M的焦点F的距离等于a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线O A被圆C所截得的弦长为( )。

22.过抛物线y2=2p x(p＞0)焦点F的直线与抛物线交于点A、B,O是坐标原点,且满足,则抛物线的标准方程为( )。

24.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线C上一点,P Q垂直l于点Q,M,N分别为P Q,P F的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NR F=60°,则|F R|等于( )。

25.抛物线C:y2=4x与直线l:y=k(x-2)交于点M、N两点,过点M作x轴的平行线与ON交于A点,过点A作抛物线C的切线,切点为B,切线A B与直线l′:x=2交于D点。已知点E(2,0),则|D E|2-|A E|2=( )。

A.8 B.-8 C.16 D.-16

26.抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过抛物线C1的焦点F,依次交抛物线C1,圆C2于A,B,C,D四点,则的值为( )。

27.已知抛物线C:y2=4x,若过点P(-2,0)作直线l与抛物线C交A,B两个不同点,且直线l的斜率为k,则k的取值范围是( )。

28.若A、B是抛物线y2=x上关于直线x-y-3=0对称的相异两点,则|A B|=( )。

29.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若,则a的取值范围是( )。

30.已知F为抛物线M:y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线M上三点,当时,称△A B C为“和谐三角形”,则抛物线上的点可构成的“和谐三角形”有( )。

A.0个 B.1个

C.3个 D.无数个

31.斜率为k的直线l过抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点F,交抛物线于A,B两点,点P(x0,y0)为A B的中点,作O Q⊥A B,垂足为Q,则下列结论中不正确的是( )。

32.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦A B的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率为( )。

33.过抛物线x2=2y上两点A、B分别作切线,若两条切线互相垂直,则线段A B的中点到抛物线准线的距离的最小值为( )。

34.已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,抛物线的对称轴与准线交于点Q,P为抛物线上的动点,|P F|=t|P Q|,当t最小时,点P恰好在以F,Q为焦点的椭圆上,则椭圆的长轴长为( )。

二、填空题

35.已知直线l:y=m x-4m与抛物线y2=2p x(p＞0)交于点A、B,以A B为直径的圆经过原点,则抛物线的方程为 。

36.已知抛物线的方程为y2=2p x(p＞),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△O A B为等边三角形,且面积为483,则p的值为____。

37.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,M是抛物线C上一点,若FM的延长线交x轴的正半轴于点N,交抛物线C的准线l于点T,且,则|NT|=____。

38.已知一条抛物线的焦点是直线l:y=-x-t(t＞0)与x轴的交点,若抛物线与直线l交于点A、B,且

39.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)的焦点为F,E是抛物线C的准线上位于x轴上方的一点,直线E F与抛物线C在第一象限交于点M,在第四象限交于点N,且|EM|=|MF|=2,则点N到y轴的距离为____。

40.已知抛物线y2=2p x的准线方程为=-2,点P为抛物线上的一点,则点P到直线y=x+3的距离的最小值为____。

41.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于点M(点M位于第一象限),与它的准线相交于点N,且点N的纵坐标为4,|FM|∶|MN|=1∶3,则实数p=____。

43.若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动,则|P Q|+|P C|的最小值为____。

44.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)的焦点为F,过F的直线交抛物线C于A、B两点,以线段A B为直径的圆与抛物线C的准线切于,且△A O B的面积为,则抛物线C的方程为____。

45.如图3,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于____。

46.抛物线y2=2p x(p＞0)的准线与双曲线x2-的两条渐近线围成的三角形的面积等于2,则p=____。

图3

47.M为抛物线y2=4x上一点,且在第一象限,过点M作MN垂直该抛物线的准线于点N,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,若四边形O FMN的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为____。

48.如图4,过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若____。

图4

49.已知点A是抛物线y2=2p x(p＞0)上一点,F为其焦点,以F为圆心、|F A|为半径的圆交准线于B,C两点,△F B C为正三角形,且△A B C的面积是,则抛物线的方程是____。

50.已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2p x(p＞0),圆C1与抛物线C2相交于A,B两点,,则抛物线C的2方程为____。

51.过点F(2,0)作直线FM交y轴于点M,过点M作MN⊥MF交x轴于点N,延长NM至点P,使得|NM|=|MP|,则P点的轨迹方程为____。

52.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与抛物线C相切于Q点,P是l上一点(不与Q重合),若以线段P Q为直径的圆恰好经过F,则|P F|的最小值是____。

53.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且直线l与圆0交于M,N两点,若|A B|=3|MN|,则直线l的斜率为____。

54.已知斜率为12的直线l与抛物线y2=2p x(p＞0)交于x轴上方的两点A,B,记直线O A,O B的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是____。

三、解答题

55.已知动圆E经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程。

(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于点A,B,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线A B的斜率为定值。

56.设O是坐标原点,F是抛物线x2=2p y(p＞0)的焦点,C是该抛物线上的任意一点,当C F与y轴正方向的夹角为60°时,

(1)求抛物线的方程;

(2)已知A(0,p),设B是该抛物线上的任意一点,M,N是x轴上的两个动点,且取得最大值时,求△BMN的面积。

57.如图5,已知圆C:x2+(y-2)2=4,抛物线D的顶点为O(0,0),准线的方程为y=-1,M(x0,y0)为抛物线D上的动点,过点M作圆C的两条切线与x轴交于A,B。

(1)求抛物线D的方程;

(2)若y0＞4,求△MA B的面积S的最小值。

58.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴上,且抛物线上有一点P(m,5)到焦点的距离为6。

(1)求该抛物线C的方程;

(2)已知抛物线上一点M(4,t),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线D E是否过定点,并说明理由。

图5

59.如图6,过抛物线M:y=x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线A B交y轴于点B,点C是抛物线M上异于点A的点,设G为△A B C的重心(三条中线的交点),直线C G交y轴于点D。

(1)设点A(x0,x20)(x0≠0),求直线A B的方程;

图6

60.已知抛物线C1的方程为x2=2p y(p＞0),过点M(a,-2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线,切点分别为A,B。

(1)若过焦点且在x轴上截距为2的直线l与抛物线C1交于Q,N两点,Q,N两点在x轴上的射影分别为Q′,N′,且|Q′N′|=25,求抛物线C1的方程;

(2)设直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值。

61.已知经过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,直线A O,B O分别交直线m:x=-1于点M,N。

(1)求证:x1x2=1,y1y2=-4;

(2)求线段MN长的最小值。

(1)求动点P的轨迹C的方程。

(2)过点D(2,0)的直线交轨迹C于A,B两点,直线O A,O B分别交直线l于点M,N,证明:以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值,并求出此定值。

63.已知圆N:(x+1)2+y2=2和抛物线C:y2=x,圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A,B。

(1)当切线l斜率为-1时,求线段A B的长;