椭球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛

林翠云

（汕头大学理学院，广东 汕头 515063）

0 引言

Fourier积分的线性求和问题是多元Fourier分析中的重要问题，其中三种重要的求和法分别是：Gauss-Weierstrass平均、Abel-Poisson平均和球型Bochner-Riesz平均.其中，Gauss-Weierstrass平均、Abel-Poisson平均以及高于临界指数的球型Bochner-Riesz平均有较为成熟的结论[1-2]，而低于或等于临界指数的球型Bochner-Riesz平均的情况则比较复杂.对于该问题，1954年Herz[3]给出了球型Bochner-Riesz平均Lp有界的必要条件，在此基础上，人们猜测其充分性也成立，这就是著名的Bochner-Riesz猜想[2].许多著名数学家为此做出了杰出的贡献，如Carleson与Sjölin解决了二维情形[4]等，而高维情形迄今尚未解决，它与Fourier限制性猜想、Kakeya极大函数猜想以及Besicovitch集的Hausdorff维数有着密切的联系[2，5].因此，Bochner-Riesz平均的Lp有界性问题成为调和分析中重要而又具有挑战性的问题之一.虽然Bochner-Riesz平均Lp有界性还没有彻底解决，但是对于球面情形，已经有不少著名的结论，譬如二维情形已经被彻底解决[2]，在一些合适的指标下，高维情形Lp收敛性依然是成立的.本文以此作为出发点，将球面结论推广到椭球面，主要内容是证明椭球型Bochner-Riesz平均Lp收敛性与Lp有界性是等价的，并在适当的指标范围内证明椭球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛性.

1 定理的提出

1.1 球型Bochner-Riesz平均的介绍（见文献[2]）

假设 f∈L（Rn），是 f的 Fourier变换，则 f的 Fourier积分的球型 Bochner-Riesz平均为

我们已知球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛有以下结论.

结论1 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.等式

成立，当且仅当存在一个常数Cp使得不等式

成立，这里Cp与R无关.（见文献[6]）

结论2 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.算子Tα在L（pRn）上具有有界扩张，当且仅当对任意f∈L（pRn），存在一个常数Cp使得不等式

成立.这里Tα是

其中，

Ω（Rn）是Schwartz函数空间，（Φα）∧（x）＝B（αx）.（见文献[6]）

1.2 椭球型Bochner-Riesz平均

1.2.1 椭球体： 令a1，a2，…，an＞0，定义n维椭球体

其中，Rn是n维欧氏空间.

1.2.2 椭球型Bochner-Riesz平均核： 定义函数

1.2.3 椭球型Bochner-Riesz平均的定义： 假设f∈L（Rn），是f的Fourier变换，则f的Fourier积分的椭球型Bochner-Riesz平均为

其中，a＝（a1，a2，…，an），ξ＝（ξ1，ξ2，…，ξn）. 对 Reα＞－1.

相应地，令f∈Ω（Rn），我们定义椭球型Bochner-Riesz算子如下：

1.3 主要结论

有了椭球型Bochner-Riesz平均的定义，下面我们将给出椭球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛性结论.

定理1 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.等式

成立，当且仅当存在一个常数Cp使得不等式

成立，这里Cp与R无关.

定理2 令f∈L（pRn），1＜p＜＋∞.算子Tα在L（pRn）上具有有界扩张，当且仅当对任意f∈L（pRn），存在一个常数Cp使得不等式

2 预备知识

2.1 Bessel函数及其性质

2.2 Schwartz函数空间

Rn上的一个无穷次可微复值函数f是Schwartz函数，如果对任意一对多重指标α和 β，存在正常数 Cα,β使得

其中，α＝（α1，α2，…，αn），β＝（β1，β2，…，βn），αk，β（kk＝1，2，…，n）是非负整数.

2.3 命题1

椭球型Bochner-Riesz平均有以下等价形式

所以由（*）式，我们将（1）式转化成

2.4 命题2

椭球型Bochner-Riesz平均有以下等价形式

其中，Sn－1是 n 维欧氏空间中的单位球面，是 n维球面坐标变换的Jacobi行列式（见文献[7]）.

由（2）、（**）式，我们可以得到

2.5 引理1

2.6 引理2

证明 因为椭球型Riesz平均

3 定理1的证明

因此，

令ε＝1，当R＞R0时，.

当 R∈(0，R0]时，

因为L（pR）n是一个Banach空间，根据一致有界原理，有界，记，则

假设存在常数Cp＞0，使得对任意f∈L（pRn），有.

因此，根据Lebesgue控制收敛定理，我们有

定理1证毕.

4 定理2的证明

假设算子Tα在L（pRn）上具有有界扩张，因为对任意f∈Ω（Rn）我们有

因此，对任意f∈L（pRn），我们有

因此，我们有

其次，我们证明算子Tα在L（pRn）上具有有界扩张.

假设对任意f∈L（pRn），存在常数Cp使得成立.因为在L（pRn）中稠密，Ω（Rn）也在L（pRn）中稠密.令a0＝（1，1，…，1），则对任意f∈Ω（Rn），我们有

定理2证毕.

5 定理3、4的证明

根据定理2，以及结论2，我们得到椭球型Bochner-Riesz平均Lp有界性与球型Bochner-Riesz平均Lp有界性是等价的.因此，它们Lp的有界性具有相同的指标适应范围，即.定理3得证.

6 总结

本论文证明了椭球型Bochner-Riesz平均Lp收敛性与Lp有界性是等价的，并证明了低于或等于临界指数的椭球型Bochner-Riesz平均Lp收敛性的指标p的适应范围，且二维情形下低于或等于临界指数（适应指标p的范围的椭球型Bochner-Riesz平均具有Lp收敛性.因为二维情形的球型Bochner-Riesz平均猜想的已有证明方法不能推广到高维（n＞2）情形上，所以目前高维情形还未得到完全的证明.因此，接下来的工作我们将致力于寻找高维情形新的证明方法.