基于非线性泊松比修正的邓肯−张E-ν模型及应用研究

毛国成，陈晓斌, 2，王晅, 3，李扬波



基于非线性泊松比修正的邓肯−张-模型及应用研究

毛国成1，陈晓斌1, 2，王晅1, 3，李扬波1

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075； 2. 重载铁路工程结构教育部重点实验室，湖南 长沙 410075； 3. 高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙 410075)

针对邓肯-张模型在低应力状态下粗颗粒土体变特性描述不足的问题，分析高速铁路B组粗颗粒土填料大型三轴试验得到轴向应变与横向应变的变化特征，提出基于二次函数的非线性泊松比公式。将非线性泊松比代替邓肯-张Eν模型切线泊松比，建立基于非线性泊松比修正的邓肯-张模型。采用中点增量法和Abaqus二次开发平台，编写修正邓肯-张模型的用户子程序(UMAT)。通过粗粒土三轴试验的数值模拟，对修正邓肯-张模型程序的可行性进行应用研究。研究结果表明：基于非线性泊松比修正的邓肯-张模型的轴向应变-体积应变计算结果与实验实测结果一致，可真实反映粗粒土填料的轴向应变-体积应变趋势。

粗粒土；高铁路基填料；非线性泊松比；邓肯-张模型

我国通行规范中使用的B组高速铁路路基填料粒径大于20 mm颗粒的质量超过了50%，属于粗颗粒土范畴。由于其大颗粒材料占主要成分，受荷时颗粒间运动十分复杂，粗粒土填料往往伴随着剪胀和剪缩现象[1−2]，其竖向应变与横向变形之间的关系表现与细颗粒的黏性土差别较大，很有必要进行专门研究。近些年，许多学者对粗粒土变形特性开展了试验研究和本构模型开发。例如在粗粒土物理性质研究方面，石熊等[3−4]对粗粒土的强度和变形特征进行试验，研究了不同粗粒含量、不同围压对粗粒土强度和变形指标的影响。在本构模型方面，大多数都使用了一些适当简化的弹塑性本构模型，也有一些复杂的弹塑性−黏弹塑性本构模型出现，比如孙海忠等[5]研究了颗粒破碎对硬化准则和剪胀性的影响，建立了考虑颗粒破碎的粗粒土临界状态弹塑性本构模型。KONG等[6]研究了粗粒土初始特性，提出了考虑颗粒破碎的双曲面弹塑性模型。Kan等[7]基于高压缩颗粒材料提出了边界面模型。通常，复杂的本构模型具有较多的模型参数，并且模型参数的确定并不容易，所以在工程应用层面带来了困难。于是，人们又开始重视适度简化的本构模型的应用价值。其中邓肯−张-模型由于参数少、物理意义明确，而且参数易通过试验获取，成为具有较高应用价值的本构模型之一。面对复杂的土体变形特性，针对邓肯−张模型存在的不足，国内外许多学者对不同情况提出了修正邓肯−张模型。2013年以来，部分代表性的修正模型见表1所示。由于粗粒土级配组成与细粒土具有明显差别，许多研究[2−3]认为粗粒土的变形机理与特性也存在不同。当邓肯−张本构模型运用到粗粒土填料时，石熊 等[3−4]发现邓肯−张能较好模拟粗粒土强度特性，却不能较好地反映粗粒土填料体变特性与泊松比的变化。徐晗等[8]认为邓肯−张模型能较好地反映堆石坝粗粒土的加载应力路径，而模拟卸载应力路径时候有明显差异，导致了变形描述误差；石熊等[3−4]研究发现邓肯−张-模型并不能很好地反映粗粒土的体变特性，指出纵向变形与横向变形不遵循线性规律。文献调查表明，邓肯−张-模型具有较高工程应用价值，但是其不能精确描述粗颗粒土的纵向变形与横向变形。高速铁路路基填料属于粗粒土范畴，为适应高速铁路路基应力应变及体变计算分析的需要，有必要针对铁路路基粗粒土填料本构关系进行进一步研究。针对邓肯−张-模型在描述粗颗粒土的纵向变形与横向变形的不足，本文基于大型三轴试验，分析了邓肯−张-模型的适应性。基于分析，提出能反映粗粒土填料轴向应变与侧向应变的函数关系，推导出切线泊松比公式。以此对邓肯−张-模型进行修正，通过试验实例论证其可行性。接着，利用Fortran语言，在大型通用有限元软件ABAQUS的二次开发平台上实现了基于非线性泊松比修正的邓肯−张-模型，并进行应用分析。研究成果寄希望有助于加深高速铁路路基变形的理解和提高变形计算精度。

表1 近期部分修正的邓肯-张模型

1 邓肯−张模型νt适用性分析

为研究高速铁路路基B组粗颗粒土路基填料强度、变形特性，采用大型三轴剪切仪试样进行三轴剪切试验。试验方法、试验材料描述及主要试验成果见文献[4]。

1.1 变形特性分析

B组高速铁路路基填料系列试验均表现出一致规律。为了分析其应变特性，选择2个土样的轴向应变−体积应变关系曲线。图1为2个典型土样的体积应变ε与轴向应变1之间的关系。

(a) 试样1；(b) 试样2

图1显示固结排水三轴剪切实验中，B组高速铁路路基粗颗粒土填料体积应变与轴向应变表现为非线性关系。实验土样1和土样2均表现出了同样的规律，实验实测的体积应变随着轴向应变明显分为3个阶段：首先体积应变随着轴向应变增大而快速增加，然后体积应变随着轴向应变增大的速率减小，最后到一定阶段后趋于稳定，之后体积应变随着轴向应变增大不再增加。

1.2 E-ν模型切线泊松比适用性分析

邓肯−张-模型[14]属于非线性弹性模型中的切线模型，该模型的模型参数t和t随着应力水平的变化而变化。其中，邓肯−张模型中切线泊松比ν以假定轴向应变1与侧向应变−3存在双曲线关系为前提推导得出，其泊松比(−3/1)线性隐式关系可以写成：

式中：为材料初始泊松比；为−3/1与−3关系拟合直线的斜率。邓肯−张-模型切线泊松比t的计算公式为：

式中：为应力水平。其计算公式为：

式中：为黏聚力；为内摩擦角；1−3为主应力差；3为围压；P为大气压强；R，，，，和为邓肯−张模型材料参数。

基于试验成果，将高速铁路路基B组粗颗粒土填料的模型泊松比与实测泊松比进行对比，结果见图2。

由图2可见，2个B组填料的实验结果表现出同样的变化规律，实验得到的泊松比与轴向应变之前存在明显的非线性关系。具体表现为：在轴向应变较低时，泊松比试验值快速增大；随着轴向应变增加(2%~4%)，泊松比增加速度变缓慢；当随着轴向应变增加到某一水平(比如大于2%)，泊松比增加速率趋于平缓。另外值得注意的是，在同一轴向应变水平下，随着围压增大−3/1值变小。相比较而言，-模型切线泊松比的模型值随着轴向应变关系是线性关系，表现为泊松比的模型值随着轴向应变增加呈现线性增加。在同一轴向应变水平下，围压增加，会导致泊松比的模型值减小。

图2中泊松比实验值与模型值对比结果显示拟合直线与试验值相差甚远，说明公式(2)不能真实反映粗粒土填料体变特性。由此说明，-模型中关于轴向应变1与侧向应变−3的双曲关系假定和-模型在路基B组粗颗粒土路基填料中会产生较大的误差。邓肯−张模型在反映粗粒土横向变形与竖向变形关系上精度不足。产生误差的原因在于：1) 粗粒土填料组成与黏土差别较大，粗粒土填料中颗粒大小差别大，黏土颗粒大小较均匀，使得建立于黏土试验结果的邓肯−张模型并不能很好的反映粗粒土填料特性；2) 由于粗粒土填料大颗粒在受力情况下咬合情况复杂，使得其体积变形机理异常发生；3) 部分粗粒土填料大颗粒的破碎，改变了细粒土常有的体积变形规律。

(a) 试样1；(b) 试样2

2 非线性泊松比修正的E-ν模型

2.1 非线性泊松比公式

针对上述问题，提出采用二次函数关系拟合轴向应变与侧向应变，二次函数为：

基于试验结果，采用提出的二次函数和最小二乘法，通过拟合2个B组填料的实验结果得到了非线性泊松比公式的实验参数，拟合结果见图3所示。

图3显示所采用的二次函数高度拟合了2个B组填料的实验结果，各围压下拟合系数均大于0.999，能较好地拟合试验侧向应变与轴向应变 关系。

通过拟合确定了二次函数的参数，从表2可知：参数，和值随围压变化不大，取平均值。在公式(4)基础上，通过侧向应变3与轴向应变1的关系式，可得出修正-模型切线泊松比表达式：

将非线性泊松比函数替换传统邓肯−张模型的切线泊松比，建立了基于非线性泊松比修正的邓肯−张模型，以此来更好地描述B组粗颗粒土填料的变形。由此可见修正邓肯−张模型共有8个参数，包括：，，R，，，，和。

2.2 修正E-ν模型验证

为了验证基于非线性泊松比修正的邓肯−张模型，选用已经发表的试验成果来验证案例(见文献[14])。基于文献[14]中承德中密砂的三轴试验数据，首先确定修正的模型参数：=2.807，=0.012，=0.016。然后，将非线性泊松比修正的邓肯−张模型理论值与试验值进行对比，对比结果见图4所示。

由图4可看出：非线性泊松比修正的邓肯−张模型体积应变和泊松比理论值与试验值吻合，说明了非线性泊松比修正的模型合理性。该修正模型既能较好地描述中密砂粗粒土的体积应变，也能很好描述纵向应变和横向应变的关系。

(a) 土样1；(b) 土样2；(c) 土样3；(d) 土样4

表2 非线性泊松比公式的实验参数

(a) 体应变；(b) 泊松比

3 修正的E-ν模型应用分析

3.1 计算模型实现

利用ABAQUS二次开发平台，采用FORTRAN语言编写修正邓肯−张模型实施程序。编程过程中，考虑本文推导非线性泊松比代替-模型切线泊松比，将应力修正为以压为正。采用计算速度快、精度高的中点增量法进行应力积分，主要由UMAT子程序实现，其流程如图5所示。

UMAT子程序主要计算步骤描述如下：

1) 根据增量步初始应力状态，计算确定切线变形模量t，计算非线性泊松比νt，由此形成初始刚度矩阵[({0,0})]；

2) 传入子程序的应变增量{∆}计算出第一次试算应力增量{∆1}=[({0,0})]{∆}；

5) 更新应力分量{}={0}+{∆}和应变分量{}={0}+{∆}，赋值给雅克比矩阵DDSDDE。

图5 UMAT开发流程图

3.2 应用分析

修正邓肯−张本构模型实现程序编写完成后，用来模拟B组粗颗粒土填料大型三轴试验，并将模拟计算结果与试验实测结果进行对比分析。ABAQUS三维物理模型中，B组粗颗粒土填料大型三轴试验土样尺寸为：高度为600 mm，直径为300 mm。计算单元采用三维应力八节点单元(C3D8)，模型网格共划分为12 800实体单元，节点数为13 161，模型网格如图6所示。

图6 计算模型网格划分

土体本构模型分别采用非线性泊松比修正的邓肯−张-模型和邓肯−张模型，数值计算模型参数见表3。计算模型中的边界条件为：底面约束方向位移，固定底面中心点，方向位移。

加载方式为：位移加载，模拟100，200，300和400 kPa下的三轴加载。大型三轴试验的数值模拟计算结果(邓肯−张模型、非线性泊松比修正的邓肯−张模型)与试验实测结果进行对比分析，见图7所示。

(a) 轴向应变−偏应力(邓肯−张模型)；(b) 轴向应变−偏应力(修正邓肯−张模型)；(c) 轴向应变−体积应变(邓肯−张模型)；(d) 轴向应变−体积应变(修正邓肯−张模型)

图7(a)对比结果表明：修正的邓肯−张和邓肯−张模型轴向应变−偏应力计算结果均与试验实测值高度吻合，邓肯−张模型与修正邓肯−张模型均能较好地反映粗粒土的偏应力−轴向应变变化特性。

图7(b)结果显示传统的邓肯−张模型轴向应变−体积应变计算结果与实验实测结果距较大，表现为传统的邓肯−张模型体积应变计算结果随着轴向应变增大而一直增大，而实验实测的体积应变表现为体积应变计算结果随着轴向应变增大到一定阶段后趋于稳定，之后不再增加。基于非线性泊松比修正的邓肯−张模型轴向应变−体积应变计算结果与实验实测结果一致，真实反映了粗粒土填料的轴向应变−体积应变趋势。主要原因在于非线性泊松比正确描述了轴向应变ε1与侧向应变−ε3间的变化关系，因此修正邓肯−张模型的预测结果与试验值更接近。

4 结论

1) 基于B组填料体积应变−与轴向应变特征，提出其轴向应变与侧向应变的二次关系，建立了非线性泊松比函数，并采用已有实验成果论证了其合理性。

2) 将非线性泊松比函数替换传统邓肯−张模型的切线泊松比，建立了基于非线性泊松比修正的邓肯−张模型。基于中点增量法，编写了修正邓肯−张模型的用户子程序(UMAT)，使其在Abaqus平台上得以实现。

3) 应用结果表明，改进模型能合理地描述粗颗粒土填料的体积应变特性，研究成果寄希望有助于加深高速铁路路基变形的理解和提高变形计算 精度。

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Modified Duncan-Changconstitutive model using non-linear Poisson's ratio and its application analysis

MAO Guocheng1, CHEN Xiaobin1, 2, WANG Xuan1, 3, LI Yangbo1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. Ministry of Education Key Engineering Laboratory for Heavy-haul, Changsha 410075, China;3. National Engineering Laboratory for Construction Technology of High Speed Railway, Changsha 410075, China)

This study aims to modify the insufficiency on Duncan-Chang-model when it is used to predict the volumetric strain of coarse-grained soil under lower stress conditions. The characteristics of axial strain and transverse strain obtained from large-scale triaxial tests on coarse-grained soil filler of Group B in high-speed railway embankment were analyzed. A non-linear Poisson’s ratio formula was proposed based on quadratic function. The non-linear Poisson ratio was used to replace the Duncan--model tangent Poisson's ratio to establish a modified Duncan-Chang-constitutive model. A user subroutine (UMAT) for the modified Duncan-Chang-constitutive model was developed using the midpoint increment method. The user subroutine (UMAT) can be used in Abaqus. Finally, through the numerical simulation of the triaxial test of coarse-grained soil, the feasibility of modified Duncan-Chang-constitutive model is studied. The application results show that the calculated axial strain-volumetric strain of modified Duncan-Chang model is in good agreement with the experimental results, which truly reflects the axial strain-volume strain trend of coarse-grained soil filler.

coarse-grained soil; B group fillings; non-linear Poisson’s ratio; Duncan-Chang model

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.01.010

TU 443

A

1672 − 7029(2019)01 − 0071 − 08

2018−01−13

国家自然科学基金资助项目(51678575)；中国铁路总公司科技研究开发计划项目(2016G003-B)

陈晓斌(1978−)，男，江西赣州人，教授，博士，从事交通岩土工程领域粗颗粒土工程性质研究；E−mail：chen_xiaobin@csu.edu.cn

(编辑 涂鹏)