引力微子场在德西特厚膜上的局域化性质研究

周祥楠

山西师范大学物理与信息工程学院， 山西 临汾 041004

0 引言

尽管通常的观点认为我们生活的时空仅仅只有四维，额外维理论还是受到了越来越多的关注[1～5].这是由于额外维理论可以解决许多物理学难题，比如层次问题(即普朗克能标和弱电能标间的巨大差异)[1，2]和宇宙学常数问题[4，5].尤其在20世纪90年代，兰道尔和桑德鲁姆在以他们名字命名的兰道尔-桑德鲁姆(RS)薄膜模型中实现了额外维尺度的无穷大[3]，随后更加自然的厚膜模型被提出[6～8].在膜世界图像中，我们的世界，即膜世界，除引力外的其他物质场束缚在膜上，而引力可以在空间中自由传播.

无穷大的额外维要求高维时空的物质场能够自然地束缚在膜上，从而不会与现实观测相冲突.因此研究物质场在膜上的局域化是十分重要的，相关工作也很多[9～14].一般来说，标准模型中物质场的零膜被要求一定要局域化在膜上，从而可以在膜上重建标准模型.但是有质量的卡鲁扎-克莱因(KK)模式的局域化也十分重要，因为这是我们探究额外维存在的重要途径，通过研究有质量的KK 模式与膜上物质的相互作用，帮助我们找到额外维存在的证据[13].在某些膜世界上，我们虽然不能发现束缚的有质量的KK 模式，但是还是可以寻找KK 共振态模式，这些准局域化的粒子会在膜上待很长时间，并且与其他粒子相互作用[14].

另一方面，引力微子是宇宙学中一种非常重要的暗物质候选者[15～17].它是超对称理论中引力子的超对称伴随粒子，其自旋为3/2.引力微子场是一种超越标准模型的物质场，其具有许多标准模型中物质场所不具有的独特的性质.因此研究引力微子场在膜上的局域化性质是十分有趣的，而且带来研究引力微子场的新的视角.相比于标量场和费米场等一般的物质场，引力微子场在膜上的局域化性质的研究是很少的[9，11，18，19].现在发现通过引入规范条件Ψ5= 0 和耦合项，引力微子场的零膜总可以局域化在RS 薄膜上[9，18]，但是对于标量张量膜，对一个有意义的耦合参数而言，引力微子场的零膜不能局域化在膜上[11].值得注意的是，目前关于引力微子场局域化性质的研究大部分都集中在类RS 薄膜上.因此引力微子场在厚膜上的局域化性质引起了我们的注意.在文献[19]中，我们讨论了引力微子场在f(R) 平直厚膜上的局域化性质，我们发现在参数一致的情况下，引力微子场的KK模式的质量谱与一般费米场的KK模式的质量谱一致，但是手征性相反.这为我们在膜上区分两者提供了重要依据.在本文中，我们将进一步探究引力微子场在弯曲膜世界中的局域化性质，我们将以文献[6，7，10]中所给出的德西特厚膜世界为对象，研究引力微子场在其上的局域化性质并给出KK质量谱，通过对比一般费米场的KK质量谱，从而探究引力微子场与一般费米场在弯曲膜世界中局域化性质的异同.

1 回顾德西特厚膜解

首先让我们回顾爱因斯坦引力框架下的德西特厚膜解.厚膜一般可以由带势函数V(φ) 的背景标量场φ自然地产生.系统的作用量可以写为

(1)

(2)

上述线元已经进行过共形变换.对于正常数β>0, 我们可以得到膜上度规为德西特度规.一般我们会假设标量场仅仅是额外维坐标的函数，即φ=φ(z).考虑度规(2)和以下势函数

(3)

则从作用量(1) 出发可以得到的爱因斯坦-标量场方程具有以下的膜世界解[6，7，10]

(4)

(5)

2 五维引力微子场在德西特厚膜上的局域化

在我们之前的研究中，已经发现对于自由的五维引力微子场，其有质量的KK模式很难以局域化在膜上[19].因此，我们需要引入引力微子场与背景标量场的耦合来得到束缚的有质量的KK模式.一般来说，这种耦合方式最简单的选择就是汤川耦合.由此，可以得到以下五维引力微子场的作用量：

(6)

从该作用量出发得到五维引力微子场的运动方程为

Γ[MΓNΓR]DNΨR-ηF(φ)[ΓM,ΓN]ΨN=0

(7)

(8)

(9)

-e-3A[γλ,γν]γ5(A′+∂z)Ψν-ηe-2AF(φ)[γλ,γν]Ψν=0

(10)

这里我们已经用了规范条件Ψz=0.接下来我们引入以下的手征分解：

(11)

(12)

将手征分解(11) 代入方程(10)，可以得到两个方程.这两个方程可以通过分离变量和定义常数mn，即引力微子场的KK模式质量，进而变为以下四个方程

(13)

(∂z+A′+ηeAF(φ))ξRn=mnξLn(∂z+A′-ηeAF(φ))ξLn=-mnξRn

(14)

(15a)

(15b)

从上面的一阶方程出发，我们可以得到左右手征的引力微子场的KK模式所满足的类薛定谔方程

(16a)

(16b)

其中有效势函数的形式为

VL(z)=ηA′eAF(φ) +ηeA∂z(F(φ))+(ηeAF(φ))2

(17a)

VR(z)=-ηA′eAF(φ) -ηeA∂z(F(φ))+(ηeAF(φ))2

(17b)

当我们引入下列正交关系

(18)

则四维无质量的和一系列有质量的引力微子场的作用量便可从五维作用量(6)式得到.从方程组(16) 我们可以看到引力微子场的KK模式满足的方程依赖于标量场函数F(φ) 的形式，因此我们参考文献[10]，考虑两种具体的F(φ)的形式，来研究引力微子场在德西特厚膜上的局域化性质.同时值得指出的是，通过对比一般费米场KK模式所满足的方程，我们会发现左手引力微子场KK模式满足的方程与右手费米场KK模式满足的方程一致，而右手引力微子场KK模式满足的方程与左手费米场KK满足的方程一致，即左右手征引力微子场KK满足的类薛定谔方程和一般费米场的KK满足的方程是一致的，但是手征性正好相反.这一结论和我们之前工作[19]中所得到的结论一致.

A.F(φ)=φ

首先我们考虑最简单的情况，即F(φ) =φ.此时势函数(17) 的形式为

(19)

图1 左右手征引力微子KK模式的势函数VL(左)和VR(右)的图像，其中参数的取值为δ=β=1/2,η=1
Fig.1 PotentialsVL(left) andVR(right) for the left-and right-handed gravitinos. Here, the parameters are set toδ=β=1/2,η=1.

(21)

(22)

(23)

因此很容易验证零膜解(21)式是满足正交关系(18)式的.因此对于引力微子场，只有右手征的零膜可以局域化在膜上.注意这个结论和文献[10]给出的一般费米场的结论正好相反，对于一般费米场，只有左手零膜可以局域化在膜上.膜上引力微子场和一般费米场的这一差异为我们在膜上分辨它们提供了一种方法，而这一结论和我们在平直膜上所得的结论相同[19].

(24)

(25)

上述势函数的图像显示在图(2)，我们发现在z=0和z=±∞的时候，势函数(24)和(25)的取值分别为

(26)

VL(±∞)=VR(±∞)=η2

(27)

即两者都有相同的边界行为，但在零点处的行为正好相反.

从图(2) 可以看出，当我们考虑正的耦合常数η>0，此时左手征势函数VL取值全为正，所以不存在可局域的左手零模.而右手征势函数则拥有一个典型的有限深势阱，且最小值小于零，故而右手零膜

(28)

(29)

而当n为奇数时，其通解为

(30)

这里2F1是超几何函数，其中参数an和bn的取值为

(31)

而KK质量谱则为

(32)

对于左手征势函数，我们会发现当0<η<β/δ时，左手征势函数类似一个势垒VL(0)≥VL(±∞)>0(当η=β/δ时，势函数是个常数)，因此不存在可局域的KK模式.而当η>β/δ时，左手征势函数为一个有限深势阱VL(0)

(33)

而当n为奇数时，通解为

(34)

其KK模式质量谱为

(35)

对比右手征引力微子场的KK质量谱，我们会发现左手征引力微子场束缚的KK模式比右手征的要少一个.其实少的这一个就是可束缚的右手零膜.因此只有η>β/δ时，才有束缚的左手KK模式，其基态表达式为

(36)

当参数取值为δ=1/2,β=1,η=11, 左右手征引力微子场的KK模式质量谱为

(37)

(38)

由此可以看出除了右手征零膜，左右手征的KK质量谱是一致的.对比文献[10]给出的一般费米场的结论，我们会发现引力微子场的局域化性质和一般费米场的局域化性质是一样的，但是手征性相反.即对于一般费米场，其左右手征的KK质量谱一致，但是左手费米场比右手费米场多一个局域化的左手零膜.而对于引力微子场，则是右手引力微子场比左手引力微子场多一个可局域的右手零膜，而其余KK质量谱一致.这一结论成为区分膜上引力微子场的KK粒子和一般费米场的KK粒子的重要指标.该结论与我们在平直膜上得到的结论一致.

3 结论