用数形结合思想提升解向量题的能力

张宏翀 董义宏 安宏

在进行有关向量的运算时，可以将数与形有机地结合起来.通过数形转化，将几何知识与代数知识有机地结合在一起，能为多角度地展开解题思路提供广阔的空间.

一、向量加減法几何意义中的数形结合

向量的加减法与平行四边形（或三角形）法则，是向量基本运算的数与形的两种类型，这两种类型的合理转化是求解与此相关问题的重要方法.

分析 本题是向量的夹角问题，又有两个向量的和的表达式，可以考虑用向量和的几何意义，即平行四边形法则及相关知识去处理.

解延长OA，与过点C且平行于OB的直线交于点D;延长OB，与过点C且平行于OA的直线交于点E，由题意可得△OCD为直角三角形，且∠COD=60°，∠OCD=90°，由OC=2，可得OD=

小结本题借助向量的平行四边形法则，通过画平行四边形，发现了一个直角三角形，通过这个直角三角形得到最终结论.

例2已知C是线段AB上的一点，P为直线AB

小结此类题目往往需要从向量的减法入手转化已知条件，巧妙地利用向量的投影、数量积、单位向量及向量的三角形法则或平行四边形法则进行解答。

二、将几何图形问题转化为向量运算的数形结合

有些向量问题是以几何图形为背景，综合考查向量的有关知识，需要运用向量的运算将问题进行转化，从而求解。

例3如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，圆C是直径为2的圆，MN是圆C的直径，求AM，BN的最大值及此时MN与AB的关系.

分析 此题以图形为背景，要求AM，BN的最大值，可以考虑引入一个角变量，将问题用这个角变量表示出来，将形转化为数，用函数概念去处理.

小结本题建立在形的基础上，通过引入辅助角，将问题巧妙地转化为三角问题，通过三角变换得到结论，实现形与数的转化，也避免了对形的讨论.

三、将向量问题转化为几何图形的数形结合

在向量式的基础上联想可能涉及的图形，通过这些图形得到问题的结论，可以使问题直观化.

小结 向量式都有它所表达的几何意义，充分利用几何意义，使代数问题图形化、直观化，便于问题得到解决.对平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和长度特征，优先考虑建立直角坐标系，用图形表示出题中给定的条件，再利用几何意义进行求解.