高中数学例题设计方法探究

陈文妍

新课标提出了“以学生为本”的理念，要求教师在课堂例题教学中，重视对例题的选择和设计。因此，如何设计例题，使高中学生更好地进行有效的数学学习是新课标的基本要求，也是教师在备课前应该进行的深刻思考。

本文利用“最近发展区”理论与“图式”理论，对例题设计的原则与方法进行深入分析，提出相应的方法技巧以达到更好的教学效果。

一、高中数学例题设计的原则与方法

1.学生为本原则

“最近发展区”理论指出，教师在教学中设计例题时，要充分了解学生的身心发展特点和知识水平， 根据学生认知水平的不同设置不同的问题关卡，让学生自己去发现问题、解决问题，从而构建起自己的知识框架。

2.层次性原则

为了体现知识点之间的连贯性，教师在设计教学例题时，应注意例题之间的层次性，由浅入深。这种层次性要求教师充分关注学生的思维形成过程，结合学生的思维特点和课堂反应情况，逐步预设例题，帮助学生理解知识的形成过程。

3.变通性原則

学生学习了新知识后，很容易按照固定的解题模式去解题，不利于学生创新思维的培养。因此，在设计例题时，图式理论要求教师遵循图式形成的规律，应注意题目的改造弹性和拓展性，使得在教学过程中，学生能进行一题多解，或者通过改变条件、结论和方法等进行变式训练，由此加强学生对知识和数学思想方法的再认识，有利于学生图式的更新和迁移。

二、实例分析

结合全国卷新课标1，以立体几何垂直证明问题这一知识点进行分析，并进行例题设计。

1. 教材分析

立体几何知识的学习内容来自人教A版高中数学必修二第二章。该内容包括空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质三个章节。证明线面垂直是高考中的一个考查重点，而教材中设计这方面的例题很少（不包括习题），而且图形比较常见，其做法也比较常规。因此，教师在证明线面垂直这个知识点上，可以通过设计与高考相连接的例题，来帮助学生更好的理解线面垂直的证明方法。

2.高考题分析

由2010—2018年的全国新课标1理科数学高考题中的立体几何题来看，立体几何一般分布在试题中的第18题或第19题，线面位置关系的证明的考查在于第一问，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中多是线线垂直或面面垂直，可以看出，立体几何题在高考中的考查题型是比较明显的，在平时的立体几何题型训练中，应以这种题型为主要训练目标。因此，在“直线与平面垂直的判定及其性质”这一章节中，教师应更加注重知识点的讲解，并对知识点的应用有更多的训练。研究高考题中的立体图形可知，一般是以规则的平面图形为主，如正方形、等腰三角形等。因此，在平时教学中，教师应该加强学生对常规平面图形的性质的训练，能熟练地掌握图形的各个性质。

3.解法分析

根据平面与平面垂直判定定理，证明面面垂直的关键点在于证明线面垂直，而证明线面垂直的关键点在于证明线线垂直。因此，掌握线线垂直的证明方法尤为重要。而在一般的线线垂直证明方法中，主要是以以下七种情况为主要掌握点：

（i）勾股定理（已知三边长）;

（ii）等腰三角形的三线合一;

（iii）矩形（正方形）邻边互相垂直，菱形（正方形）对角线互相垂直;

（iv）圆的直径所对的圆周角是直角;

（v）两直线平行，若一条直线垂直于其中一条，那么也垂直于另一条直线;

（vi）线面垂直的性质;

（vii）面面垂直的性质。

4.例题设计

例 如图，在几何体中，面面，四边形为平行四边形，，，，

求证：

分析：学生刚开始接触立体几何题目，对于方法的应用

还比较生疏，因此，可以将例题1中的问题分解为几个问题，通过循序渐进，让学生慢慢理解证明线面垂直的一般思路。

问题分解：（1）求证：;（2）求证：面;

（3）求证：面.（4）求证：

变式1：（改变条件）

如图，在几何体中，面面，

四边形为平行四边形，是圆的直径，

，，.

求证：.

解析：变式1证明思路与例题是相同的，但通过改变条件，使得题目考查的知识点更深一步，也将立体几何与圆的知识点结合在一起，加深学生对知识点间的联系的认识，也提高了学生的知识迁移能力。

三.结语

教师在进行变式设计时，要切实考虑学生的学习情况，对立体几何的相关知识做一些需要性的复习与补充，让学生能在有限的变式训练中掌握这类题型的解题方法，能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高逻辑思维能力，增强变式意识。这样才能真正做到符合学生的“最近发展区”特点，激发学生学习数学积极性，提高自身的数学能力。