深度钻研 明确考向——2019年数学《考试说明》解读

福建 汤小梅

对照2019年和2018年的《普通高等学校招生全国统一考试大纲说明》(以下简称《考试说明》)，可以发现理科数学和文科数学的考核目标、能力要求、题型等均保持不变，理科数学和文科数学的考试范围仍然保持不变，这说明2019年高考理数与文数的命题会保持相对稳定，在新一轮高考改革到来之前，以平稳过渡的方式进入新课改.2019年高考数学的核心考点仍然是三角与数列、立体几何、解析几何、统计与概率、函数与导数、选考内容(坐标系与参数方程、不等式选讲)，小题热点仍将是：集合、复数、三角函数的图象和性质、三角恒等变换、双曲线或抛物线的图象和性质、空间几何体的表面积和体积、解三角形、数列、导数的几何意义、统计等.现一起走进2019年《考试说明》，细读、细悟其信息，深入地领会考纲精神，更好地把握备考的重点和方向.

一、对知识要求和能力要求的解读

对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.莫轻视要求仅为“了解”的知识——高考命题不拘泥于考纲.例如：球、棱柱、棱锥的表面积和体积的计算虽为“了解”的内容，但在高考中几乎每年必考；双曲线的定义、几何图形和标准方程及其简单几何性质，虽为“了解”、“知道”的内容，但在高考的客观题中是常考的内容.要求为“理解”与“掌握”这两个层次的知识点是高考命题者的首选.尤其是要求“掌握”的内容，往往成为命题者进行深度命题的“桃花源”，所以在备考中要多加重视，要强化训练.

《考试说明》坚持对五种能力和两种意识的考查，即对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查，这是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养在高考中的体现.这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.需特别关注“背景新颖化、考点综合化”的试题，例如：数学建模问题、新定义问题，或者利用模块知识之间的联系来综合命题，此类试题虽然都有一个新鲜的“包装”，但是只要学会脱去“包装”，还原其本来真面目，结合已有的基础知识和基本技能，即可自然而然地解决此类问题.

二、考试范围与要求的解读

下面根据高三第二轮、第三轮复习的特征，对考试范围与要求分知识块进行解读.

(一)集合与常用逻辑用语、不等式

1.集合的考查注重基础知识的考查，常与函数、方程、不等式等知识相结合，在知识点的交汇处命题.重点考查补集、交集或并集的综合运算，常以选择题的第1小题或第2小题的形式呈现.还需关注以点集为背景的集合的基本运算与集合的子集个数问题的运算.

注意：元素与集合之间是属于或不属于的关系；而集合与集合之间则是包含与不包含的关系.学会子集与真子集的区别与联系，并且会求给定有限集的子集个数.

2.常用逻辑用语注重基础知识的考查，在高考中属于容易题，一般在选择题或填空题的位置，主要考查三种类型：四种命题的真假与它们的关系识别、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定.所综合的知识常是集合、不等式、立体几何等基础内容，具有一定的新颖性.

3.简单线性规划问题是历年高考必考点，这部分的内容常考查线性目标函数的最优解，一般不难，一定要把这些分值收入囊中！基本不等式主要渗透在函数、数列的最值问题中，要求不是很高，但要高度重视.

(二)平面向量、复数、算法、推理证明

1.平面向量的考查主要类型：一是向量的线性运算；二是向量的数量积；三是向量平行与垂直的充要条件的应用；四是向量与三角、解析几何、导数等相交汇时，突出向量的工具性作用.平面向量的坐标表示和运算是把向量由“形”往“数”转化的关键，所以考纲的要求比较高，一定要给予灵活应用.

注意：特殊向量的概念，尤其是零向量，不可忽视.区别用坐标表示的平面向量平行与垂直条件，不要搞混.

2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现，常考查以下三种类型：一是复数的四则运算，特别是除法运算；二是复数的概念，如实部、虚部、共轭复数等；三是复数的几何意义.

3.算法初步的命题重点是程序框图的三种基本逻辑结构，而“条件结构”与“循环结构”则是重中之重.常考查三种类型：输出问题(最常考)、补全问题、功能问题，且都在选择题或填空题中出现.

4.合情推理中的归纳推理和类比推理都是高考命题的重点和热点.常在填空题的压轴题中呈现.分析法和综合法都是解题中常用的方法，综合法是由因导果，分析法是执果索因.在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.

理数“能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”这个要求主要体现在数列的解答题中.虽然要求是“能”，但高考考查的概率较低.

(三)函数与导数

1.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)

(1)对数函数、分式函数、根式函数的定义域可能隐含在函数的每一道考题中，务必警惕！

(2)求解分段函数的函数值应先确定自变量的取值范围，然后代入相应的函数的解析式去求解.对于含有“多层”的函数的求值问题，如f(f(a))，一般需“由内层往外层”计算.

注意：分段函数常与指数、对数的运算问题相结合，要注意对数、指数的运算规律.

(3)指数函数的图象和性质往往与其他知识相结合命题，如常与导数相结合，以压轴题的形式呈现.不要忽视其底数对函数单调性的影响！

(4)对数函数的图象和性质常以客观题的形式呈现.对数函数的图象要会画，这是利用数形结合法解题的基本要求，当然也不要忽视对数函数的定义域、底数对函数的单调性的影响等.

注意：需关注对数的运算与化简，特别是换底公式与幂函数的运算问题！

(6)零点问题是高考命题的热点，函数的零点通常与函数的单调性、奇偶性、周期性等相结合，背景多样化，常与方程的根、两函数的图象的交点等交汇考查，有时以中档题呈现，有时以压轴题的形式呈现.

2.导数及其应用

有关导数的小题其考查重点在于导数的运算与几何意义、利用导数判断函数的单调性、极值、最值等.有关函数与导数的解答题，侧重于考查导数在函数中的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性(多涉及含参函数的单调性)与极值、最值问题.特别是函数的最值，有关函数与导数的解答题常渗透这个考点，如把不等式恒成立问题、存在性问题转化为构造函数，求函数的最值问题.

定积分近几年都不涉及，是冷考点，只需会利用微积分基本定理求定积分的值，会利用定积分的几何意义求定积分的值即可.

求可导函数单调区间一般先确定函数的定义域，再求f′(x)；令f′(x)>0(f′(x)<0)，得f(x)的单调递增(减)区间.切记：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开.若f(x)在区间D上单调递增(减)，则f′(x)>0(f′(x)<0)在区间D上恒成立，注意“等号”成立的检验.

(四)三角函数、三角恒等变换及解三角形

1.三角函数的小题考查重点在于基础知识：三角函数的解析式；图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小).

2.对三角恒等变换的考查，重点是三角函数求值，还要注意两角和差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角公式的正用、逆用与活用，需关注辅助角公式在解题中的应用.

看清《考试说明》要求——“积化和差、和差化积、半角公式”，但对这三组公式不要求记忆，所以不要做无用功！

3.对解三角形的要求比较高——“掌握”、“运用”，该部分内容在解答题中，多以三角形为背景，把解三角形与三角恒等变换交汇考查，既需关注辅助角公式的应用，又需关注以四边形为背景的考题.在小题中常与平面向量、解析几何等知识交汇命题，是历年高考的必考内容，务必要熟练把握.

(五)数列

1.高考对等差、等比数列的考查常以“一大”或“两小”的形式呈现，小题多考查等差数列或等比数列的通项公式、前n项和公式，以及性质的活用；大题主要考查等差数列与等比数列交汇的内容，或数列的递推关系式(可转化为等差数列或等比数列)内容，或数列与方程的根、不等式等知识交汇.

注意：在等比数列求和时，要先判断其公比是否为1！

2.解答题中，若给出数列的递推关系式，此时第一小题多考查“判断或证明数列为等差数列、等比数列”，只需会利用等差数列与等比数列的定义证明即可，备考复习时，不需拔太高的难度，定位为中档或中偏低档；此外，用分组求和法、裂项相消法，以及错位相减法求数列的前n项和应给予重视.

3.已知数列的前n项和与第n项的关系式，求数列的通项与前n项和的考题也需熟练掌握.

(六)立体几何

1.立体几何初步

(1)三视图问题是近年高考的“常青树”，但需注意控制其难度，近几年高考题的难度一般在中档或中偏低档，常以柱体、锥体、球体为背景来考查，有时选取以上两种几何体构成简单组合体进行考查，多考查几何体的表面积与体积求解问题.几何体的三视图的作图规则是解决几何体形状的依据，“长对正、高平齐、宽相等”是解决几何体度量的准则.

(2)空间线面位置关系的判断经常以命题判断的形式进行考查，也常与简易逻辑相交汇进行考查，如判断命题的真假，与充分必要性交汇等.难度一般为中档.判断空间中的线面位置关系时，要把平面几何中的知识与空间中的线面关系区分开来，不要熬成“大锅饭”，乱成一团.

(3)“空间线、面平行与垂直的判定和性质定理”是证明空间平行与垂直关系的主要依据，常以解答题的第一小问的形式考查.证明时，条件要全，结论才能准确，乱改或误用条件，证明就会出现失误.

(4)文科也需关注空间异面直线所成角、线面角的求解与应用，如2018年高考卷Ⅰ文科第10题就考查空间线面角的应用，2018年高考卷Ⅱ文科第9题就考查空间异面直线所成角的正切值的求解，此时多以长方体或正方体为背景呈现，并且都在小题的位置考查.

(5)建立适当的空间直角坐标系，准确求出点的坐标是应用空间向量解决立体几何问题的基础.

2.空间向量与立体几何

空间向量法是证明空间线面位置关系、求解空间角与距离的强有力的工具.对空间向量与立体几何体的考查，仍以空间几何体的点、线、面位置关系，以及空间求角与求距离问题为主.还需关注空间几何体的探索性问题、几何图形的展开与折叠问题、定值与最值问题等.难度属于中档.

利用空间向量法解决立体几何题需“四会”，一会“建系”，即利用空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系；二会“求空间点的坐标”；三会“转化”；四会“用公式”，熟记异面直线所成角、线面所成角、二面角的向量公式.

(七)解析几何

1.平面解析几何初步

(1)每条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.当直线与x轴垂直时，其倾斜角为90°，但其斜率不存在.在解决过定点的直线问题时，要根据斜率是否存在进行分类讨论.

(2)直线常与圆锥曲线的位置关系相交汇，在解答题中考查，多考查直线方程的点斜式或一般式.此时应注意直线方程的应用条件和范围.

注意：在应用直线方程的点斜式时，若直线垂直于x轴，其斜率是不存在的.

(4)直线和圆的位置关系中，常用几何法和代数法.几何法：利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断；代数法：先把直线与圆的方程联立，再利用判别式来判断.

2.圆锥曲线与方程

解析几何在高考中的地位向来重要，一般一道小题、一道解答题.小题重基础，一般是中偏低档题，解答题一般是中等难度和较难题，整体呈中偏上的难度.分值基本在18分左右.直线与椭圆、抛物线位置关系的要求层次有所降低.对解析几何的考查仍将重点考查椭圆、圆、抛物线的图象和性质，特别是直线与圆锥曲线相交问题，而对双曲线的考查仍会降低.需关注解析几何的探究性问题、最值、定值问题，关注椭圆、抛物线、双曲线交汇的试题.掌握圆锥曲线的简单几何性质，此类题便不攻自破.“理解数形结合的思想”，既要重视坐标法，还要注意圆锥曲线的特征，两者结合求解.

(八)统计与概率、计数原理

1.统计

(1)“三图”中的频率分布直方图与茎叶图是考查重点，折线图偶尔会涉及，常在小题或解答题中出现，若在解答题中呈现，此时文科多与“五数(众数、中位数、平均数、方差与标准差)”、古典概型交汇，理科多与“五数”、分布列、期望等知识交汇.

(2)“提取基本的数字特征”的高频考点是中位数、平均数与方差(标准差)的计算，注意由频率分布直方图求出其中位数、平均数与方差，常在小题中或解答题的第一小问中呈现.

(3)“理解用样本估计总体的思想”，即样本的数字特征近似与总体的数字特征相等.

2.概率

(1)“古典概型、互斥事件的概率加法公式”是高考考查的重点，常在解答题中与离散型随机变量的期望相交汇呈现，难度多为中档.

(2)对几何概型的考查，常以选择题或填空题的形式呈现，多考查一维与二维测度的几何概型.此类题定准衡量的依据：长度、角度、面积还是体积.

(3)理科数学还需关注条件概率、独立事件、对立事件的概率运算.

(4)概率与统计交汇的考题已经发展成为高考解答题的“盘中菜”，定要重视.常考以下四种类型：一是求离散型随机变量及其分布列、期望、方差(特别是二项分布、超几何分布、独立事件的概率)；二是求线性回归方程，预测变量的值；三是独立性检验(2×2列联表的应用)，《考试说明》中定位为“了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用”，但我们在备考中应以掌握去应对，例如在2019年《考试说明》中，就添加了2018年卷Ⅲ理18、文18高考真题，该题把独立性检验问题与茎叶图、中位数等知识自然相交汇；四是随机变量的概率、期望与统计相交汇；五是利用实际问题的直方图，掌握正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，会求指定区间的概率.

3.排列组合与二项式定理

常以实际生活为背景，考查两个计数原理与排列组合问题，常在选择题、填空题、解答题中考查，在解答题中多与概率等知识相交汇.对于排列与组合交汇试题，常用“先组合后排列”策略，实际上就是先分类后分步的体现.

“二项式定理”要记准公式，记住规律.其命题重点：利用通项公式求指定项或指定项的二项式系数或指定项的系数、赋值求系数.

(九)选考内容

1.坐标系与参数方程

坐标系与参数方程的难度一般为中档，常考以下三种类型：一是求曲线的方程，如求极坐标方程、参数方程、直角坐标方程或普通方程；二是求点的极坐标或点的直角坐标；三是直线与圆、椭圆、抛物线相交汇，判断位置关系或求弦长等问题.

2.不等式选讲