探求命题规律，提高备考效率——谈2019年多面体与球切接问题的备考策略

云南 唐明超 广东 潘敬贞

全国卷命题具有一定的稳定性和延续性，研读课程标准、考试说明，研究真题，探求命题规律，找准复习要点，正确把握每一个考点复习的度，合理分配时间与精力是高效备考的基本前提与保证；多面体与球切接问题长期以来深受全国卷命题者的青睐，一度出题频率较高.探求多面体与球切接问题的命题规律，科学制定备考策略，对提高备考效率有重要意义.

1.解读课程标准与考试说明

普通高中数学课程标准(2017年版)明确了立德树人的根本任务.立体几何内容明确要求，要知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题，重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养.

课程标准对球这一知识点只要求了解其表面积与体积公式，并没有上升到理解和掌握的层面，而且2018年全国统一考试大纲的说明中对该部分知识点没有做过多的描述，基本上保持与课程标准一致，只是解读了“了解”的含义，即对所列知识点有初步的、感性的认识，知道知识内容是什么，按照一定的程序和步骤进行解答，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它即可.但是，多面体与球的切接问题是考查球与多面体的交汇点，通过考查想图、画图，点、线、面的位置关系与数量关系，最终达到考查空间想象能力和直观想象核心素养的目的.因此在复习多面体与球的切接问题时，需要掌握基础知识和基本方法，着重对想图、画图能力的培养，这一点在2017年、2018年的全国高考试题中体现得尤为明显.

1.1考题解析

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考点解析：题目与课程标准要求和考纲要求完全一致，试题以三棱锥与球的外接问题为背景考查三棱锥的体积公式，在题目的呈现过程中并不直接考查体积公式的简单计算，而是将三棱锥的高作为变量，要求考生找到三棱锥何时体积最大，将静止的公式赋予生机，考查学生想图、画图，分析问题、提出问题并解决问题的能力，体现了命题的能力立意和数学素养立意，很好地考查了学生的直观想象和数学抽象等核心素养.

解答本题，首先明确要运用锥体的体积计算公式求体积，其次是通过想图和画图，找到题目中不变的量是三棱锥的底面的面积，变量只有三棱锥的高，通过想图、画图可知，三棱锥高的最大值是球心到底面的距离加上球的半径，进而将问题转化为求球心到截面的距离，求球心到截面的距离是立体几何中较为常见的模型，构造直角三角形易得其解.

解法2：本题还可以采用补体的思想将三棱锥放回正方体中去，三棱锥的底面的三条棱恰好是正方体相邻三个面的面对角线，球就是正方体的外接球.这也是解决多面体与球的切接问题较为常用的方法，解答过程略.

解法3：既然可以将其放回正方体中，就一定能建立空间直角坐标系，直接用坐标法解决点到平面的距离问题，解答过程略.

1.1.2(2017·全国卷Ⅲ·理8文9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

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考点解析：本题考查球与圆柱的切接问题，解决问题的一般思路是先找到球心，进而把空间问题转化为平面问题，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的数量关系，进而求出球的半径，最后利用公式计算求解.

由以上两年高考题可以看出，命题者严格按照课程标准和考试说明的要求进行命题，题目难度属于中等难度甚至偏下，考查的基本模型变化不大，这就提示我们高考备考只需要围绕典型的多面体如锥体、柱体等与球的切接问题中的常见模型进行复习归纳即可，掌握一般规律与基本思想方法，远离偏、难、怪题，这样一来就不会掉入题海，更不会深陷其中，而且还会大大地提高备考效率.

2.多面体与球切接问题的常见模型与解决策略

2.1三棱锥两个面互相垂直的模型

2.1.1(2017·全国卷Ⅰ·文16)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.

考点解析：要求球的表面积，关键是要求球的半径，就要通过想图、画图寻找三棱锥与外接球的几何关系、数量关系，根据几何关系和数量关系最终解出球的半径.

方法总结：解答本题的关键是通过想图、画图，再利用点、线、面的位置关系，寻找几何关系，常常是构造直角三角形，进而利用直角三角形的性质确定半径.

2.2三棱锥三条棱两两互相垂直的模型

2.2.1(2017·全国卷Ⅱ·文15)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.

可以将2.2.1适当改编得2.2.1.1如下.

2.2.1.1已知球O的表面上有P，A，B，C四点，且PA，PB，PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积.

方法总结：根据题目要求，三条棱两两互相垂直时，可还原为长方体，利用长方体的体对角线等于外接球的直径，得出球的半径，充分体现出补体思想的实用性.

从以上分析可以看出，多面体与球的切接问题往往以常见的几何体为载体呈现，涉及线线两两垂直可以考虑还原为长方体，三棱锥的侧面与底面垂直也可以考虑还原为长方体，三棱锥的侧面与侧面垂直可以利用点、线、面的位置关系构造直角三角形.形式变化不大，容易掌握，所以教学过程中，重在模型化思想的渗透，培育数学抽象和几何直观等数学素养.

3.立足高考真题，寻找一般规律

3.1(2016·全国卷Ⅱ·文4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

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C.8π D.4π

3.2(2015·全国卷Ⅱ·理9文10)已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

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A.36π B.64π

C.144π D.256π

3.3(2016·全国卷Ⅲ·理10文11)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是

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4.备考策略及建议

4.1回归本质，掌握基础知识

根据课程标准相关要求，了解并熟记锥体、柱体、球的体积公式和面积公式，会正确使用公式进行计算，学会分析公式中几何量间的相关关系；掌握处理多面体与球的切接问题的一般步骤，即找球心、找半径、用公式.同时也要加强想图、画图能力的培养，能根据题意正确画出几何图形，转化求解“模型”，提高解题效率.

4.2掌握多面体与球的切接问题的常见模型

将问题进行适当转化，构造常见模型，使几何问题模型化，再寻找几何模型中的等量关系，利用函数与方程思想，将几何问题转化为代数问题.

4.3加强对高考真题的研究，适当变式探究

研究高考真题、挖掘真题内在价值是跳出题海的重要途径，也是高考备考的重要策略.多面体与球的切接问题就极具代表性，首先题目难度不大，其次题目呈现方式相对稳定，均可以进行适当的转化与化归，将其变为熟知的模型进行解答，在研究真题的过程中进行适当的变式探究可进一步熟练求解球心的位置和半径，培养学生转化与化归能力，提高解题能力.