利用一个结论解决零点和的取值范围问题

■河南省濮阳市第一高级中学 张亦驰

在求解函数两个零点和的取值范围问题时，通常需要转化为极值点偏移问题，通过构造函数，再借助函数的单调性，从而得到函数零点和的取值范围，这种方法虽然可以解决此类问题，但是寻找极值点，构造函数都会让同学们感到困难。下面介绍一个重要结论，它不但容易理解，而且可以快速解决零点和的取值范围问题。

结论若x1＞0，x2＞0，当x1≠x2时，则有

证明：要比较的大小，只需要比较大小，即比较

当t∈(0，1)时，此时x1＜x2，φ(t)＜φ(1)=0。

当t∈(1，+∞)时，此时x1＞x2，φ(t)＞φ(1)=0。

综上所述，当x1≠x2时，则有

例1(2010年天津卷理科第21题改编)已知函数f(x)=xe-x(x∈R)。

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)如果x2≠x1，且f(x1)=f(x2)，证明:x1+x2＞2。

解析：(1)进行求导，可得f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，f(1)=为极大值。

(2)如果x2≠x1，不妨设x1＜x2，由(1)知x1＜1，x2＞1。

设f(x1)=f(x2)=a，则有两边取对数得:

x1=lnx1-lna，x2=lnx2-lna。

两式相减得x1-x2=lnx1-lnx2。

因此，x1+x2＞2。

例2(2013年湖南卷文科第21题)已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)证明:当f(x1)=f(x2)，且x2≠x1时，x1+x2＜0。

解析：(1)进行求导，可得函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，在区间(0+∞)上单调递减。

同理，当x＞1时，f(x)＜0。

当f(x1)=f(x2)，且x2≠x1时，不妨设x1＜x2。

由(1)可知，x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1)。

以上两式相减得:

假设x1+x2≥0，根据x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1)，则有x1∈(-1，0)。

两边同除以1-x1-(1-x2)=x2-x1＞0，可得:

这与假设x1+x2≥0相矛盾，所以假设不成立。

综上所述，x1+x2＜0。

例3(2016年全国Ⅰ卷理科第21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(1)求a的取值范围;

(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明:x1+x2＜2。

解析：(1)过程略。

(2)由(1)知a＞0，0＜x1＜1＜x2＜2。

因为x1，x2是函数f(x)的两个零点，所以f(x1)=f(x2)=0。

因此，(2-x1)ex1=a(x1-1)2，则有ln

(2-x1)+x1=lna+ln

(x1-1)2。

同理，(2-x2)ex2=a(x2-1)2，则有ln

(2-x2)+x2=lna+ln

(x2-1)2。上述两式相减，并整理得ln(2-x1)-

两边同时除以(2-x1)-(2-x2)得:假设x2-1≥1-x1，则有x1+x2≥2。又因为0＜x1＜1＜x2＜2，所以

这与假设x2-1≥1-x1，即x1+x2≥2相矛盾，所以假设不成立。

综上所述，x1+x2＜2。

总而言之，关于零点和的取值范围问题，在近几年的高考试题和模拟试题中出现的频率较高，在平常解题时要多加留意，主动探究归纳，发现问题的本质，提炼出这类问题的解题规律，有了这些规律，做题时就可以化繁为简，水到渠成，而且对于解题能力的提高往往能起到事半功倍的效果。