面向关键设备维修服务的PBC合同与BI保险集成设计

李 阳 （上海理工大学 管理学院，上海 200082）

0 引言

在国内外相继提出中国制造2025和工业4.0后，越来越多的制造型企业向服务型企业转型，有不少企业的生产设备都具有发生故障概率低、可用度高、操作复杂等特点，运营商自己是很难独立完成维修保养工作的，越来越多的运营商将设备的维修服务外包给设备制造商。突发故障会带来不可估量的损失。据波音航空集团统计，因起落系统、航电以及发动机等关键子系统失效导致的飞机“停场”事故造成波音航空集团每小时损失近15万美元[1]。

运营商将关键设备的维修外包给设备制造商，双方需要签订售后维修服务合同。目前主流的PBC合同已经逐渐取代了基于材料的（T&MC）合同，关于PBC合同的研究，Kim，Cohen等（2007）[2]明确了PBC概念，通过设备的运行情况，制定供应商的惩罚率度，激励其提高设备的可用度，降低设备的运行成本。Kim和Cohen（2010）[3]通过基于平均设备中断时间的PBC合同和累计设备中断时间的PBC合同的设计比较，得出供应商提供关键设备的可靠性指标尤为重要。Guajardo和Cohen（2012）[4]通过大型飞机发动机制造商的数据，实证研究了基于时间物质的TMC合同以及基于性能的PBC合同，分析得出PBC合同模式下，相比TMC合同，设备可靠性会提高将近25%至40%。

而关于设备售后维修策略合同设计，Yeh等（2006）[5]研究了设备寿命服从韦伯分布的设备租用合同设计问题，考虑收益最大目标下决策最优的售后设备预防性策略。Pakpahan等（2016）[6]考虑到供应商在进行设备预防性维修的努力成本与运营商收益的权衡上，研究了运用委托代理理论构建性能合同，决策最优的设备预防性维修策略的决策问题。

对于营业中断险的研究，马中华等（2016）[7]研究了企业生产中断，考虑购买业务中断保险的赔偿期优化问题，不同风险偏好的企业参与者，购买保险的可能与赔偿期不同。

将服务运作与营业中断险结合的研究，Dong和Tomlin（2012）[8]研究了如何通过购买业务中断保险以及投资库存，进行风险控制，决策出最优的保险额度，免赔额和库存水平。Zhen等（2016）[9]研究通过购买运营中断保险和备件运输策略减缓运输中断风险，得出BI保险对于运输的作用。秦绪伟等（2016）[10]研究了关键设备PBC合同设计与业务中断保险的集成合同问题，通过保险缓解运营商设备中断带来的资金损失，同时得出保险与PBC合同的激励作用。

上述文献研究了PBC合同和营业中断保险能够有效提高关键设备可靠度，建立基于风险的性能维修合同，将PBC合同和营业中断保险联合研究。关于针对PBC合同固有的风险，将营业中断保险以及双方风险态度都考虑进去，通过模型求解，求出具体的PBC合同参数，目前还没有相关研究报道。

本文以大型设备的维修服务为例，针对PBC合同固有的缺陷，引入营业中断保险，考虑运营商和设备制造商的风险态度，运用马克维茨均值—方差效用模型，求解PBC合同里面的关键参数。

1 问题描述及符号意义

1.1 问题描述

运营商与设备制造商签订设备维修服务外包协议，合同形式为PBC合同，协议期为LP，设备发生故障，供应商采用小修方式维修，假设每次维修后设备故障率不变，且故障率r（t）服从泊松分布过程。

在考虑到关键设备突发故障造成较长停机时间的情况下，以及合同内各成员面对风险持有的不同态度下，通过整合模型的优化（运营商的效用最大）来确定PBC合同里面的各项参数。

1.2 数学符号及意义（如表1）：

表1

2 模型建立

2.1 运营商和设备制造商利润及费用模型

运营商和设备制造商之间的PBC合同如下：

w为固定支付，a为运营商分担设备制造商的维修费用系数，OCM为设备维修费用，b为设备制造商共享运营商收益的系数，D（t）为设备总停机时间。

设备突发故障可以通过购买营业中断保险来抵消收益损失，但是却不能消除商誉损失，商誉期望损失如下：

设备维修方式采用小修，单位维修费用为CCM,在合同期内总维修费用如下：

考虑到设备故障率服从非齐次泊松分布，所以设备期望故障数和方差都为所以设备维修总费用的方差如下：

设备故障导致的单位停机时间xi服从指数分布，所以总的期望停机时间，停机时间方差如下所示：

运营商单位时间收益R，在合同期LP内的期望收益，期望收益方差如下所示：

运营商为防止设备突发故障长时间停机，造成巨大收益损失，购买营业中断保险，保费率α，在合同期内应交保费为：

2.2 运营商与设备制造商效用函数整合模型

运营商和设备制造商都是在自己获得最大效益的基础上做决策。因此，考虑运用均值—方差效用模型来刻画运营商和设备制造商的期望利润函数。

运营商的期望利润是由自身在合同期内创造的收益E（ OR），给予设备制造商的PBC合同支付P（ w,a,b），支付营业中断保险费用自身的费用Oowner组成。r运代表运营商的风险态度，赋值1则代表运营商风险厌恶，赋值0则代表运营商风险中性。运营商的期望利润函数如下：

设备制造商的期望利润由运营商支付合同、设备维护费用组成，r设代表设备制造商的风险态度，赋值1则代表运营商风险厌恶，赋值0则代表运营商风险中性。期望利润函数如下所示：

2.3 运营商决策模型

运营商考虑在自己的期望利润效用最大的情况下，设计PBC补偿合同，决策模型如下所示：

两个约束条件含义如下：（1）设备故障停机时间必须要小于等于δ，（2）必须要激励设备制造商接受这份合同，所以要使得设备制造商的期望利润大于等于Ru。

3 算例分析

本节对所建立的整合模型进行数值案例分析。考虑设备故障模型服从两参数的威布尔分布，单位停机时间服从λ的指数分布λ=500。保费率α=0.04，LP=1，δ=5%LP，其他数据来源与某大型挖煤厂，如表2所示：

表2

运营商的决策模型是非线性规划问题，本文采用MATLAB里面的fmincon函数，结合目标函数的fun_objective以及非线性部分的fun_nonlinear函数进行运算，求解运营商期望利润最大的情况下，不同风险态度下w,a,b的值。

将数据代入模型中，可以求解出在不同风险态度下，PBC合同参数的值使得运营商期望利润最大。当运营商和设备制造商风险态度都为中性，a=37.75%，b=20%，固定支付w=9.61万，运营商期望利润最大。当运营商为风险厌恶，设备制造商为风险中性a=0.05%，b=22.04%，固定支付w=0.035万，运营商利润最大，当运营商为风险中性，设备供应商为风险厌恶时a=99.97%，b=0.49%，固定支付w=195.133万，运营商利润最大。当运营商和设备制造商都为风险厌恶时a=49.98%，b=21.55%，固定支付w=0，运营商利润最大。

4 结束语

本文是对维修服务运作外包服务的主流合同PBC在跨界引入营业中断保险和考虑双方处于不同风险态度下，PBC合同如何设计的整合研究。运用了均值—方差效用模型，建立了运营商期望利润效用函数，通过实际案例对模型进行了运算，求解出了在不同的风险态度下，该怎么制定PBC合同里面的各项参数，使得自身利益最大。此模型针对传统的PBC合同固有的风险，引入了营业中断保险和运营商和设备制造商的风险态度，可以很好的规避风险，获得最大利润，适合拥有大型设备的企业，可以更好的规避风险，同时又能够获得很好的利润。另外，本文还存在着一些可以继续延伸拓展的方向，可以将保费分摊，将分摊系数与设备故障停机时间挂钩，也可以将保费率内生化，求解在三方视角下利益的最大化。