剖析尺规作图，探讨破题启示

符学建

[摘  要] 尺规作图是初中数学较为重要的内容，中考对尺规作图的考查涉及多种形式，有直接考查作图设计的，也有依托尺规作图考查几何问题的，而理解基本的几何原理，了解作图的基本过程，能够从中提炼出几何性质是突破考题的关键. 文章探析了中考尺规作图题的基本类型，并展开相应的学习思考.

[关键词] 尺规作图;几何;设计;思考启示

尺规作图指的是，在仅使用圆规和无刻度直尺的情况下进行相应的作图操作. 尺规作图，不仅可以归纳一些性质和定理，还可以锻炼学生的实践操作能力. 近几年，中考常将尺规作图融入考题，用以考查学生的几何知识和实践分析能力，下面笔者将对尺规作图题进行探析[1].

类型探究，破题评析

1. 尺规作图与几何计算

例1  （2018年淮安中考）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧的交点分别为P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是______.

分析上述呈现了垂直平分线的作图过程，即PQ为线段AB的垂直平分线. 要求线段CD的长，需要充分利用垂直平分线的性质. 连接AD后，由垂直平分线的性质可得AD=BD. 若设AD=x，则CD=BC-DB=5-x. 在Rt△ACD中由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，从而可构建关于x的方程，解方程后即可求得CD的长.

解答连接AD，如图2，因为PQ为线段AB的垂直平分线，所以AD=DB. 设AD=x，则CD=BC-DB=5-x. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2=32+（5-x）2，解得x=，所以CD=.

评析  本题将尺规作图与线段求值相结合，考查学生垂直平分线的性质和勾股定理等知识. 考题在设计上摒弃了传统的几何特征叙述的方式，采用的方式是作图过程描述，解题的关键是理解垂直平分线的作图方法，然后构建求解线段长的几何模型. 考题构思巧妙，可见学习作图过程的规范语言对解题极为重要.

2. 尺规作图与证明猜想

例2（2018年深圳中考节选）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形. 如图3，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作弧AD，再分别以点A和点D为圆心，以大于AD的长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD. 求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.

分析要解决此题，首先需要理解新定义，并从中提炼满足定义的条件，即菱形的一个角与三角形融合，且对角顶点在三角形上;然后分析尺规作图的过程，提取其中的几何信息. 具体证明思路可以是，先证明四边形ACDB为菱形，再结合定义条件证明其为△FEC的亲密菱形.

证明上述呈现的是角平分线的尺规作圖过程，即CB为∠ACD的平分线，于是有∠ACB=∠DCB，AC=CD. 因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB. 所以∠ACB=∠ABC. 所以CD=AC=AB. 所以四边形ACDB为菱形. 因为∠ACD与△CFE中的∠FCE重合，且对角顶点B在EF边上，所以四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.

评析本题将尺规作图与新定义题的证明进行有机结合，用作图过程替换了其中的几何条件，在增强应用性的基础上考查了学生的演绎推理能力. 解答问题时需注意两点：一是提取作图过程中形成的几何性质;二是严格按照几何证明的逻辑进行推理，由已知探未知，用推理证猜想.

3. 尺规作图与方案设计

例3（2018年天门中考）图4和图5都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点. 点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.

（1）在图4中画出∠MON的平分线OP;

（2）在图5中画一个Rt△ABC，使点C在格点上.

分析第（1）问要求在网格中作出∠MON的平分线，考虑到全等三角形的对应角相等，于是可以作出共顶点O和P的两个全等的三角形，如△MOP≌△NOP，在网格中可以利用单元菱形的性质来确定等长. 第（2）问是作Rt△ABC，条件有两个：一是有直角，二是点C在格点上. 由于单元图形为菱形，而菱形的两条对角线互相垂直，于是可以借助其特性，通过连线、作平行线的方式来实现.

解答（1）具体作图如图6，确保△MOP与△NOP全等即可.

（2）因为点B为单元菱形的一个顶点，所以可以连接该单元菱形的对角线，分别命名为EF和BC，连接AC即可，此时AC∥EF，而EF⊥BC，所以BC⊥AC. 所以△ABC是以∠ACB=90°的直角三角形，如图7.

评析上述考题要求在网格内作图，属于尺规作图的方案设计题. 解决尺规设计题需要把握两点：一是设计的原理，即根据几何定理和性质确定方案;二是按照特定的程序和顺序开展设计，即在绘图时基于原理以一定的顺序进行连线. 因此，以尺规作图为载体的方案设计题是对学生几何理解和数学探究能力的综合考查，可见培养实践技能对于该类问题的解答十分重要.

4. 尺规作图与实际应用

例4  （2018年济宁中考）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛面积的方法，现有以下工具（如图8）：①卷尺;②直棒EF;③T形尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）.

[卷尺][B][D][C][E][A][F][直棒][T形尺][图8]

（1）在图9中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）;

（2）如图10，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可以求出环形花坛的面积. 如果测得MN=10 m，请你求出这个环形花坛的面积.

[图10][O][E][F][M][N]

分析上述为应用尺规作图求解实际问题的案例. 第（1）问利用T形尺找圆心，首先需要理解T形尺的两条边的关系，即长边是短边的垂直平分线. 如果将T形尺放入圆内任意位置，则由其性质可知T形尺的长边必过圆心，于是可以利用两线交点确定一点来达到找圆心的目的. 第（2）问同样是尺规作图的生活化实践，首先需要结合圆环的求解公式分析所需的线段参数，然后构建模型.

解答  （1）将T形尺的短边沿圆内壁任意位置摆放，记长边为CD，然后换个位置再记长边为C′D′，则CD与C′D′的交点就是圆心O，如图11所示.

（2）如图12所示，过圆心O作MN的垂线，垂足为点Q，连接OM. 由于MN为内圆的切线，所以S=π·OM2-π·OQ2=π·（OM2-OQ2）. 结合Rt△MOQ中的勾股定理可得OM2-OQ2=MQ2，于是S=π·MQ2. 又MQ=MN=5 m，所以S环形=25π m2.

评析本题通过探究的方式将尺规作图融入生活实际问题中，用实物量具取代数学尺规工具，可以充分考查学生对数学的理解与应用. 同时，这种生活化的作图氛围也是对“知识源于生活，又服务于生活”理念的体现. 求解时，需要充分利用所学思考问题解决的措施，并结合具体的几何定理来构建问题分析模型.

作图思考，学习启示

1. 强化几何原理

尺规作图虽然属于实践操作类问题，但操作的过程是基于对应的几何原理，因此本质上尺规作图是知识与操作综合应用的过程. 理解几何的基本性质和定理是进行尺规作图的前提，依据科学理论进行操作才是有意义的[2]. 尺规作图最为常用的几何原理有角平分线性质、垂直平分线性质和三角形全等定理等，对于上述内容的学习，不仅需要理解具体的含义，还需要掌握具体的应用过程，能够使用对应的性质、定理进行问题的分析，具体学习时可以多关注教材的实践活动，拓展应用视野.

2. 理解数学语言

一类尺规作图题常以文字叙述的形式来呈现作图过程，要求结合作图过程解决相应的问题，如上述考题关于角平分线和垂直平分线的作图问题，其中最为显著的特点是呈现过程，隐含性质，因此理解过程、准确地提取性质是解决问题的关键. 教材中对相关作图操作进行描述时使用的是对应的数学语言，即综合符号、字母和文字，因此学习时特别需要注重数学语言与几何作图的对应轉化. 如学习角平分线的性质时，不仅要掌握角平分线的作图过程和性质，还需要理解作图语言[3]. 掌握数学语言的定理描述，实现几何的规范化操作，是提升尺规作图能力的必要条件.

3. 提升数学思维

数学的解题过程是多种思维活动的过程，作图时需要掌握对应的方法流程和几何原理，所以解决尺规作图题时，需要结合相应的知识进行推理，包括合情推理和演绎推理. 尤其是对于较为复杂的作图题，需要进行严格的分析和论证，必要时还需要结合对应的思想方法，如数形结合思想、等效转化思想等. 以思想方法为指引，以基本知识为依托，进行数学思维的推理活动，这才是科学的尺规作图. 因此，提升尺规作图能力时，首先要提升数学思维能力，促进自身综合素养的发展.

参考文献：

[1]冒劼. 明晰尺规功能，让明理与得法同行[J]. 中学数学，2017（02）：19-21.

[2]仇恒光. 尺规作图教学的策略探究[J]. 中学数学教学参考，2018（11）：61-63.

[3]杨春霞. 简约中蕴新意   多途径显深度[J].  中学数学教学参考，2017（25）：33-35.