圆锥曲线教学的几点策略

卜英俊

摘 要：以高中数学圆锥曲线教学内容为研究对象，结合圆锥曲线的特点，就目前高中生解圆锥曲线所面临的问题，提出了几点教学建议，旨在提高高中数学教学水平与教学质量。

关键词：圆锥曲线；问题情境；自主探究；运算能力

为了了解学生对圆锥曲线的掌握情况，我分别从本校实验班及普通班随机挑选15名学生作为实验对象，发现这两类学生都存在两个问题：（1）不会将几何问题代数化，造成解题毫无头绪；（2）计算不出结果。如何才能改变学生的这种状况呢？下面结合我的教学实践对高中圆锥曲线的教学提出几点策略。

一、联系生活实际，巧设问题情境

数学来源于生活，又服务于生活，与数学相关的问题取之不尽，如果把数学知识放在一个生动、活泼、愉悦的情境中去，利用生活的素材，巧妙设疑，更容易激发学生的学习兴趣和求知欲望。例如在学习椭圆的定义时，让学生举出生活中有关椭圆图形的例子，然后我拿出装有水的圆柱形的杯子，随着不同的放置提问学生水面的形状是什么，最后通过多媒体展示一个圆锥，通过动画提问平行于底面和不平行于底面的平面去截圆锥所得的截面是什么图形？问题一出，立即引起学生的高度关注。同时，我们也对某些内容有意制造悬念，或者提出一些必须学习新知识才能解决的问题，以刺激学生的好奇心，激发学生的学习兴趣，使学生在自主探索的过程中掌握数学知识。例如，“双曲线标准方程”这一节，可以这样创设问题情境：我们知道与两个定点的距离之和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆。那么，请同学们想一想，与两个定点的距离之差为非零常数的点的轨迹是什么？通过设疑，让学生思考、猜想，然后探究结果，进而得到新的知识。

二、引导探究，发展学生的数学素养

发展学生的数学素养是数学教学的主要目标之一。教师通过在课堂上对学生施以良性刺激而逐步激发学生的思维兴奋度，掀起“头脑风暴”，产生强烈的求知冲动。《普通高中数学课程标准》指出，数学学习不是被动地接受和模仿，应主张学生自己动手操作、合作学习的模式，培养其创新意识。下面是我上“用定义法求动点轨迹”的教学片段：利用多媒体演示例1：“已知圆M：x2+y2+6x+8=0与圆N：x2+y2-6x+8=0，动圆P与圆M外切，与圆N内切，求动圆的圆心P的轨迹方程”。经过一段时间的思考，大家都得到相同的结论：双曲线的一支所对应的方程。此时，学生A提出问题：“动圆P都与两定圆相外切或相内切，那轨迹是怎样？”教室一片哗然，然后大家积极地思考，个别同学说轨迹是双曲线的一支，更多的同学得出的轨迹是MN的垂直平分线，最后由学生B在黑板上证明后者是正确的。这时学生C举手发言：“若两定圆半径不相等且相离又怎样？”这样我在黑板上演示例2：“已知圆M：x2+y2+6x+8=0与圆N：x2+y2-6x=0，动圆P分别满足下列条件，求圆心P的轨迹方程：（1）动圆P与圆M外切，与圆N内切；（2）动圆P与圆M内切，与圆N外切；（3）动圆P都与两定圆相外切；（4）动圆P都与两定圆相内切。”经过思考研究，大家又一致得出结论：都是双曲线的轨迹，但各自的方程不同而已。学生D举手要求在黑板上更改题目：“已知圆M：x2+y2+6x+8=0与圆N：x2+y2-6x=55，动圆P与圆M、圆N都相切，求动圆的圆心P的轨迹方程。”我顺水推舟，提出问题：“圆N方程改变，有何不同？”问题一出，很多同学就确定两定圆的位置是内含关系，因此很快求出轨迹是椭圆。在这个例子中，学生的质疑得到了教师的重视，通过引导学生自主探究，培养了学生的探究与合作的能力。

三、精心设计，强化通式通法

高中数学每章内容都有相应的基本题型和通俗解法，圆锥曲线的内容也一样。在平常的教学活动中，教师应精心设计好典型的例题及练习，把常见的解题方法介绍给学生。我把圆锥曲线的题型分为五类：求值问题、求参数范围或求最值问题、定值问题、定点问题、探索性问题，其中求值问题包含求参数、直线方程、圆锥曲线方程、式子、弦长、多边形的面积等。这些题型都有基本的解题方法，例如求最值问题就有数形结合法、不等式法、函数法；证明定点问题要揭示动曲线所对应的方程恒成立所具备的条件，或者先通过特殊找到定点，然后再证明此点在动曲线上；求解或证明定值问题意味从变到定就伴随着消参过程，体现出异化同的解题思想；求轨迹方程有直接法、定义法、待定系数法、代入法、参数法、交轨法等。因此，在有限的课堂时间里引导学生掌握基本题型的通俗解法，才能让学生有信心面对难题，把握解决难题的方向。

四、学会放手，提高综合运算能力

对学生来说，圆锥曲线的运算复杂，难以逾越。如何才能提高学生的综合计算能力，我认为：（1）教师的知识结构要全面。在解题时，教师不要看参考答案，要独立思考，只有这样强迫性的学习才能更快丰富自己的知识，对圆锥曲线问题的解决才更有体会。（2）板书要详细。在课堂上教师要把一些基本的运算过程写出来，这点不能用多媒体代替，在黑板上通过推导的过程引导学生学会观察思考数的特点、式子的特征、参数之间的关系、条件与目标之间的关系等。（3）要放手让学生练习，并引导他们进行总结。学生不断尝试错误，才能达到知行合一。在实际的教学中，还要引导学生总结解题方法，同时，还可以让学生自己编题，把学生所学过的知识点融入题目中，自己解决，从而达到综合训练的目的。例如学完椭圆的对称问题后，可以让学生进一步想象双曲线和抛物线的对称问题的题目和解决方法，布置学生改编一些题目，从而让知识得到升华。（4）教师和每一位学生都应当有记录本。教师平常解题时通过记录本分类整理，把每一类题的解题方法、心得或碰到的困难都记录下来，这样既可以提升自己的专业水平，也可以为今后的教学提供经验。同时教师应在批改作业时，将学生的运算错误分类及时记录下来，从中发现共性的错误并找出典型的错例，然后有针对性地设计一定数量的练习，有目的地进行“治疗”。学生也应该准备记录本，把作业、练习题、试卷中的运算错误或解题的技巧方法等简要及时地记录下来，并认真地归类整理，从审题、题目归类、重现知识和找出答案四个环节来分析，发现问题并提醒自己下次碰到类似的情况应注意些什么，只有不断地积累消化，才能不断地进步。（5）教学過程中多与学生交流，诱导学生克服畏难心理。圆锥曲线的运算比较难，根据调查显示学生普遍对这章内容的运算存在恐惧心理，容易产生挫折感。因此教师应做好心理辅导，多站在学生的角度看问题，激励学生敢于向困难挑战，并与学生一同感受失败，一同感受成功，一同感受学习的过程。

五、利用信息技术，化抽象为具体

在圆锥曲线中有很多的图象，根据教学需要既可实现静态演示，也可以实现动态演示。例如在“圆锥曲线与方程”的教学中运用几何画板教学，把几何图形生动地展现在学生面前，使学生直观地看到点的轨迹的变化过程，能形象地培养学生利用数形结合来解决圆锥曲线问题的能力。几何画板强大的动态教学演示功能，把抽象的数学概念、知识，形象地呈现在学生的面前，使学生充分参与教学过程，真正成为学习的主人。课堂上适当地展示多媒体有利于提高学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的空间想象力，有利于提高课堂效率，营造良好的学习氛围。

以上是我根据实际的教学实践对圆锥曲线这章内容的教学提出的几点建议。总之，作为一线教师只有积极投入新课程的改革，不断地探索，钻研新理念的内涵，才能更好地挑战新教材的实施。

参考文献：

[1]刘夏进.圆锥曲线探索性学习一例[J].教育教学论坛，2011（5）.

[2]郭蕤.素质教育背景下高中数学创新意识的培养[J].教育教学论坛，2011（25）.

编辑 谢尾合