基于凸优化Chirplet字典的线性调频信号稀疏重构算法

姜 凯，李小波，周青松

(国防科技大学，安徽 合肥 230037)

0 引 言

线性调频信号作为一种宽带信号，在雷达信号中广泛应用。目前针对线性调频信号的参数估计方法主要采取时频分析的方法，常见的如短时傅里叶变换(STFT)、分数阶傅里叶变换(FrFT)等，近年来压缩感知[1]的方法也得到了广泛应用，如基于正交匹配追踪(OMP)算法等。文献[2]提出了基于STFT的参数估计方法，其问题在于时频聚集性弱。文献[3]基于OMP算法实现了对线性调频信号的参数估计，其优点在于算法复杂度低，但估计精度不够。文献[4]提出了基于Gabor字典的凸优化稀疏重构算法，但Gabor字典对线性调频信号的匹配性能不够理想。针对上述问题，本文提出了基于Chirplet字典的凸优化基追踪重构算法。

1 信号时频原子表示模型

线性调频(LFM)信号是一种大时宽带宽积信号，其瞬时频率随时间线性变化。其信号表示如下：

(1)

式中：A为信号幅度；f0为载频；μ为调频斜率。

图1 线性调频信号

字典构建在稀疏重构中极其重要，Mallt首次基于冗余字典进行了稀疏重构[5]，字典构建中最重要的是时频原子的选择。由测不准原理可知，Gabor原子具有最小的时频窗口，因此其时频聚集性较好。Gabor原子由时移、频移、尺度因子3个参数决定，是一种三参数原子。其缺点在于原子频率不随时间变化而变化，在识别线性调频信号时，效果相对四参数Chiplet原子[6]较差。Chirplet原子在Gabor原子的基础上增加了调频率，1999年Bultan首次提出时频分析的Chirplet原子[7]，其表达形式如下：

(2)

式中：r=(s,u,ζ,β)，为参数集；g(t)选择标准高斯函数；β为调频率，当β=0时，此时只有3个参数，上述公式简化得到Gabor字典，其公式如下：

(3)

对上述2种原子进行Wigner分布仿真，其结果如图2所示。

图2 原子实部及其Wigner分布图

由时频图可以看出，Gabor原子的频率不随时间变化，Chirplet原子的频率随时间线性变化。因此，对于线性调频信号而言，Chirplet字典具有更好的匹配效果。

2 凸优化基追踪模型

信号的稀疏重构目前常用的有贪婪算法和凸松弛算法2种。贪婪算法具有计算复杂度低的优点，但其无法确保全局最优解；而凸松弛算法的优点是可以获得全局最优解，但问题是算法复杂度高。本文采用凸优化基追踪算法，其信号重构模型可以表示为：

(4)

上述问题是一个非凸的NP难问题，针对该问题进行l1范数凸松弛，即可得到基追踪表示模型：

(5)

上述模型可以改写为如下形式：

(6)

式中：‖Ax-y‖2为拟合误差；γ为调整因子。

凸优化基追踪模型可以进一步转化为二阶锥规划问题[4]，可以通过内点算法解决。本文采用原对偶内点算法解决该大规模优化问题，利用基于同质模型和Mehrotra预估-矫正算法[8]提高了算法的鲁棒性，相比于障碍函数内点法性能有较大的提升。

二阶锥规划的原问题可以表示如下：

(7)

对偶问题可以表示为：

(8)

式中：K为凸锥；K*为对偶锥。

上述对偶问题的同质模型可表示为：

(9)

原对偶内点算法的步骤如下：

(1) 初始点选择(x0,τ0,y0,s0,κ0)，其中(x0,τ0,s0,κ0)>0。εf,εg>0，γ∈(0,1)，η=1-γ。

(2) 迭代次数k=0。

(3) 计算：

(10)

(5) 解线性方程组：

(11)

式中：Xk=diag(xk)；Sk=diag(sk)。

(6) 对θ∈(0,1)，令αk为优化目标值：

(12)

(7) 进入下一次迭代k=k+1。

(8) 跳至步骤(3)。

针对Chirplet字典的调频斜率选择，本文采用迭代方式，在一定范围内进行循环迭代，通过计算重构信号与原始信号的误差和来确定最优Chirplet原子，进而利用筛选获得的最优原子进行信号重构，通过解模糊相位重构获得瞬时相位，对相位进行差分获得瞬时频率，二阶差分获得调频斜率信息。

3 仿真分析

设信号为基带线性调频信号，信号幅度为1，带宽20 MHz，脉宽5 μs，采样频率40 MHz。仿真结果如图3～图7所示。

实验1：最优原子调频斜率

设迭代次数为200，通过迭代寻找重构信号与原始信号误差和最小的调频斜率，由实验仿真得此时斜率应设为6.1e12，误差和为3.819e-6。

图3 原子调频斜率选择

实验2：信号重构及重构误差

由仿真图像(图4)可知，重构信号各点的误差极小，能够实现对信号的精确重构。

图4 重构信号及重构误差

实验3：信号相位重构及调频斜率

通过对重构复信号进行反正切运算，得到重构信号的瞬时相位，但此时相位存在卷绕现象，通过相位解卷绕运算，得到瞬时相位，对瞬时相位进行差分即可得到瞬时频率。仿真结果如图5、图6所示。

图5 相位重构

图6 瞬时频率重构

实验4：算法对比

将本文算法与文献[4]算法进行对比，其结果如图7所示。

图7 误差对比

通过对比可知本文算法误差极小。

4 结束语

宽带线性调频信号参数估计问题在雷达信号侦察中意义重大，本文基于Chirplet字典构建了一种基于凸优化基追踪的稀疏重构算法，通过将原来的基追踪问题转化为二阶锥规划问题，再通过原对偶内点算法进行求解。仿真分析证明本文算法能够精确重构宽带线性调频信号，实现瞬时频率和相位信息的精确重构。本文的不足之处在于Chirplet原子的调频斜率需要通过迭代搜索，这导致算法运算复杂度较高，针对算法复杂度的问题有待进一步研究。