分数阶基因调控网络的拉格朗日稳定性

陈 冲，胡 蝶，丁芝侠

武汉工程大学电气信息学院，湖北 武汉 430205

基因调控网络描述了基因和蛋白质之间的某种复杂联系，已经得到了深入的发展，并在化学、生物科学、医学、工程科学、数学等领域存在着广阔的应用前景［1-4］。生物体对外部信号的响应是通过基因网络的高连通性和复杂性实现的，而基因网络的特性又与基因预编码相关联；细胞内脱氧核糖核酸构成的染色体，其包含了生物体随外界环境生长所需要的各种信息，更与有机体中的复杂机制、生理调节等功能密切相关，因此它在生物医学方面扮演着重要的角色［2-5］。由此看来，对基因调控网络稳定性的研究显得尤为重要。

传统的基因调控网络是通过整数阶微分系统描述的，但由于整数阶算子具有局限的特征，而且缺乏对系统记忆性和遗传性的精确描述，故引入分数阶微积分算子，建立了新型的分数阶基因调控网络。目前，关于分数阶基因调控网络的研究已存在：Zhang等［3］利用Jensen不等式、Wirtinger不等式、分数阶李亚普诺夫方法和积分中值定理，给出了时滞分数阶基因调控网络系统（fractional-order gene regulatory networks，FGRN）稳定性分析的新判据；Ren等［6］利用李亚普诺夫方法建立了这类网络的Mittag-Leffler稳定性和广义Mittag-Leffler稳定性的判据，证明了基因调控网络的稳定性；Zhang等［7］提出了基于扩展分数卡尔曼滤波（extended fractional Kalman filter，EFKF）的分数阶基因调控算法来估计模型的隐含状态和未知的静态参数，这些成果都为深入研究生物系统中基因之间的潜在调控关系提供了思路。

在实际的应用中，为了研究系统的多稳定性，拉格朗日稳定性的定义得到了广泛的应用［8-12］。拉格朗日稳定性是基于考虑系统解的有界性和全局吸引集的存在性，考虑的是系统的整体稳定性，而并非平衡点的稳定性［13］。目前，对分数阶基因调控网络的拉格朗日稳定性的研究不多，但无论从理论角度还是应用角度来看，对基于分数阶基因调控网络的拉格朗日稳定性的研究是尤为重要的。本文考虑了微分阶0＜α＜1为情况下的分数阶基因调控网络的稳定性。通过运用拉普拉斯变换、卷积公式及Mittag-Liffter函数的性质，导出了系统微分阶0＜α＜1情况下的拉格朗日稳定性判据，同时，所得结论在整数阶α=1的情况下仍然成立。分析系统拉格朗日稳定性，有助于在优化计算、联想记忆、混沌控制等方面缩小搜寻范围，为应用提供便利［13］。

1 概 述

分数阶微积分是整数阶常微积分的一种推广，其主要优点在于对系统记忆性和遗传性的精确描述，同时也能较好的揭示出系统的本质特征［13］。本文主要将Caputo分数阶微积分应用于基因调控网络。因此，在本节，将会给出Caputo分数阶微积分的定义及引理。

定义1［14］Caputo分数阶微分可以定义为：

设 α＞0， t＞t0，X(t)∈Cn+1[t0，+∞]，同时，n是正整数，满足 n-1＜α＜n，则其中，Γ(·)表示的是 gamma函数，其定义如下：

特别的，0＜α＜1时，有：

定义2［14］Caputo分数阶积分可以定义为：

设 α＞0，t＞t0，则

定义3［14］两个参数的Mittag-Leffler函数定义：设 α＞0，β＞0，x∈C ，则

特别地，β=1时，有：

Mittag-Leffler函数的k阶导数有：

其中k为正整数。

特别地，β=1时，有：

定义4［14］设函数 f(t)在 [0，+∞]上有定义，如果对于复参变量s=β+jw，积分在复平面的某一区域内收敛，则F(s)称为函数f(t)的Laplace变换，记为 L[f(t)]=F(s)。

则有：

其中 n-1＜α＜n，n∈N+，*表示卷积符号。

引理1［15］（Ⅰ）对任意 0＜α＜1，存在不小于1的实常数 M1，M2，使得

（Ⅱ）当 β=1，2，…，α若 α≥1，则

其中 ||·||表示范数。

2 模型的描述

分数阶基因调控网络的模型为：

其中 i=1，2，3…，n，0＜α＜1，ri＞0和 wi＞0分别表示的是mRNA的降解速率和蛋白质的降解速率；mi(t)和 pi(t)分别表示第i个基因的mRNA的浓度和蛋白质的浓度；li表示第i个基因的蛋白质合成速率；hi[p1(t)，p2(t)…pn(t)]是一个非线性函数，常被称为基因调控网络的一个光滑函数。为研究方便，定义：

本文主要基于分数阶微积分理论，将其记忆性和遗传性的性质应用于基因调控网络，使得分数阶基因调控网络的模型更符合实际研究的情况。

定义5 拉格朗日渐近稳定的定义［16］：

如果存在正常数ξ1和ξ2，使得式(3)的任意解f(t，t0，f0)和 g(t，t0，g0)满足

即，存在一个常数 T(t，t0，g0)，在 t≥ t0+T(t，t0，f0，g0)时，有 ||f(t，t0，f0)||≤ ξ1和 ||g(t，t0，g0)||≤ ξ2成立，则称系统是拉格朗日渐近稳定。

3 系统的稳定性分析

通过运用拉格朗日渐近稳定性理论，主要讨论分数阶基因调控网络的稳定性。

定理1：如果存在正常数 ς，使得 ||hi[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]||≤ς，则称系统是拉格朗日渐近稳定的。

证明：设mi(t0)和 pi(t0)是系统的初值，将式（3）进行拉普拉斯变化，有

其 中 ：Mi(s)=L[mi(t)]，Pi(s)=L[pi(t)]，Hi(s)=L{hi[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]}

对式（4）进行化简有：

式（5）进行反拉普拉斯变换，则需要考虑ri≠wi和 ri=wi两种情况。

情况1：ri=wi，式（5）进行反拉普拉斯变换有：

根据引理1，有：

其中 MEα

和 MEα，α均为不小于1的常数。则对于mi(t)：

对于 pi(t)：

即在情况1的条件下，系统是拉格朗日渐近稳定的。

情况2：ri≠wi，式(5)进行反拉普拉斯变换有：

则mi(t)与情况1一致，即存在正常数υ2，使得

对于 pi( t)有：

同理，存在正常数u2，使得，综上两种情况可知，在t→∞时，存在正常数υ=max{υ1，υ2} 和 u=max{u1，u2} 使 得 ||mi(t)||≤ υ和||pi(t)||≤u成立，则系统是拉格朗日渐近稳定。

4 数值仿真

通过一个仿真实例验证了系统拉格朗日渐近稳定判据的有效性。以分数阶基因调控网络具有SUM逻辑为例，即有的表达式如下：

当基因i受到转录因子 j的激活时，式（14）是成立的；当基因i受到转录因子 j的抑制时，式(15)成立。其中rij表示的是转录因子 j到i的无量纲转录速率；λi正数被称为Hill系数；σj是一个正常数［17］。即存在，使得 ||hi(t)||≤ς。

式（16）中对应式（3）中的参数分别为：h1=；式（17）对应的参数为：。显然，通过式(16)和式(17)可以观察到是有界的。通过采用迭代法进行近似计算，使用MATLAB进行数值仿真，不妨取 α=0.2，初值条件为(m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))= (10，10，10，10) ，则 图1（a）清晰的显示mRNA状态和图1（b）显示蛋白质的状态。通过图像分析，可以得出该系统是拉格朗日渐近稳定。为了更具有说服力，而加入的另外两组数据进行数值仿真，如图2、图3和图4所示（其中图2的微分阶为0.5，初值条件为(m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))=(15，25， 26，50) ；图3 的微 分 阶 为 0.8，初 值 条 件 为 (m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))=(10，20，30，40)；图4 的微分阶为1初值 条 件 为 m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0)= (15，20，25，50)，图1（a）、图2（a）、图3（a）和图4（a）分别描述了系统微分阶数为0.2、0.5、0.8、1的mRNA浓度的状态轨迹，可观测出系统mRNA浓度的变化趋近于某一常数，可得出系统mRNA的变化是拉格朗日稳定的；同理，图1（b）、图2（b）、图3（b）和图4（b）分别描述了系统微分阶数为0.2、0.5、0.8、1的蛋白质浓度的状态轨迹，可观测出系统蛋白质浓度的变化趋近于某一常数，可得出系统蛋白质的变化是拉格朗日稳定的。

图1 α=0.2的mRNA和蛋白质的浓度状态轨迹：（a）mRNA，（b）蛋白质Fig.1 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.2）：（a）mRNA，（b）protein

图2 α=0.5的mRNA和蛋白质的浓度状态轨迹：（a）mRNA，（b）蛋白质Fig.2 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.5）：（a）mRNA，（b）protein

图3 α=0.8的mRNA和蛋白质的浓度状态轨迹：（a）mRNA，（b）蛋白质Fig.3 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.8）：（a）mRNA，（b）protein

图4 α=1的mRNA和蛋白质的浓度状态轨迹：（a）mRNA，（b）蛋白质Fig.4 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =1）：（a）mRNA，（b）protein

5 结 语

分数阶基因调控网络作为一类新型的网络系统，真实地反映了系统的本质特性。本文针对分数阶基因调控网络，采用放缩原理、拉普拉斯变换和卷积公式，证明了0＜α＜1的Caputo分数阶基因调控网络的拉格朗日渐近稳定，并通过MATLAB进行数值仿真，验证所得判据的有效性。此外，所得结论在整数阶数α=1仍然成立。