三角环上强2保交换广义导子

袁鹤

(吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136000)

0 引言

设R是含有单位元的环。对于加法映射g:R→R,若存在R上导子d满足g(xy)=g(x)y+xd(y),则称g是R上的广义导子。对于任意的x,y∈R,定义[x,y]=xy-yx.若R上映射f满足当[x,y]=0时有[f(x),f(y)]=0,则称f是R上的保交换映射。根据保交换映射的定义,Bell和Mason[2]给出了强保交换映射的定义:若R上映射f满足[f(x),f(y)]=[x,y],则称f在R上是强保交换的。1994年,Brešar和Miers[3]证明了半素环R上强保交换映射f可以表示成f(x)=λx+μ(x),其中λ∈C(R的扩展型心),λ2=1(R的单位元)并且μ：R→C是加法映射。2001年，Cheung[4]研究了三角代数上交换映射的表示形式。之后学者们从不同的角度研究了三角代数上的映射[5-16]。2012年,齐霄霏等[15]研究了三角环上满足强保交换的满加法映射的表示形式。接着,本文作者[16]研究了三角环U上满足[g1(x),g2(y)]=[x,y]的广义导子g1,g2的表示形式,证明了在一定条件下g1(x)=λ-1x+[x,u]以及g2(x)=λ2g1(x),其中λ∈Z(U),u∈U.

设R是一个环。对于任意的a,b∈R和正整数k,定义[a,b]k=[[a,b]k-1,b],其中[a,b]0=a,[a,b]1=ab-ba.若映射f:R→R满足[f(a),f(b)]k=[a,b]k,则称f在R上是强k保交换的。齐霄霏[1]研究了素环上的满足强2保交换的满映射的表示形式。本文将推广齐霄霏[1]的结果到三角环上,研究三角环上的强2保交换广义导子,证明在一定条件下,三角环U上的强2保交换广义导子g可以表示为g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(U),u∈U并且λ3=1.

1 预备知识

下面我们给出一些本文将要用到的概念。 设A和B是交换环R上有单位元的代数,1A,1B分别是A,B的单位元,M既是左A-忠实模又是右B-忠实模,则

在通常的矩阵运算下构成一个环。我们称U为三角环。定义投射πA:U→A和πB:U→B分别为

下面我们给出几个引理。

引理1 ([17,Theorem 1.4.4])设U=Tri(A,M,B)是三角环,则U的中心是

Z(U)={a⊕b|am=mb,∀m∈M},

并且πA(Z(U))⊆Z(A),πB(Z(U))⊆Z(B),存在唯一的同构τ:πA(Z(U))→πB(Z(U))满足am=mτ(a),m∈M.

引理2 ([16,Proposition 2.1])设U是三角环,g是U上的广义导子,则对于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

其中a0∈A,b0∈B,s,t∈M且

(i)pA是A上的导子,f(am)=pA(a)m+af(m);

(ii)pB是B上的导子,f(mb)=mpB(b)+f(m)b.

引理3 ([18,Theorem 2])设R是素环,d是R上导子且满足对于任意的a∈R有ad(a)-d(a)a∈Z(R).若d≠0,则R是交换的。

2 主要结果

下面我们给出三角环上强2保交换广义导子的表示形式。

定理1 设U是三角环,加法映射g是U上的广义导子且满足对于任意的x,y∈U有[[g(x),g(y)],g(y)]=[[x,y],y].若U满足下列条件之一:

(i)Z2(A)不含A的非零理想;

(ii)Z2(B)不含B的非零理想,

则g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(U),u∈U且λ3=1.

证明 不失一般性,设Z2(A)不含A的非零理想。由引理2,对于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

其中a0∈A,b0∈B,s,t∈M且

(i)pA是A上的导子,f(am)=pA(a)m+af(m);

(ii)pB是B上的导子,f(mb)=mpB(b)+f(m)b.

由假设,对于任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M有

(1)

下面将分三步证明这个结果。

第一步:a0⊕b0∈Z(U).

在(1)中取a=b=m′=b′=0,a′=1A,有

即

展开上式,有

(2)

在(1)中取a=b=a′=m′=0,b′=1B,有

即

展开上式,有

(3)

在(1)中取a=b=m′=0,a′=1A,b′=1B,有

即

展开上式,有

由(2)和(3),有

a0(a0m+f(m))b0=m,m∈M.

(4)

在(4)中用mb代替m有

a0(a0mb+f(mb))b0=mb,

即对于任意的b∈B,m∈M有

a0(a0mb+mpB(b)+f(m)b)b0=mb.

在(4)的右边乘以b,再由b0∈Z(B),有

a0(a0mb+f(m)b)b0=mb.

比较上面两式,有

a0mpB(b)b0=0.

因为a0⊕b0∈Z(U),所以有

再由M是右B-忠实模,因此有

(5)

在(4)中用am代替m有

a0(a0am+f(am))b0=am,

即对于任意的a∈A,m∈M有

a0(a0am+pA(a)m+af(m))b0=am.

在(4)的左边乘以a,再由a0∈Z(A),有

a0(a0am+af(m))b0=am.

比较上面两式,有

a0pA(a)mb0=0.

因为a0⊕b0∈Z(U),所以有

再由M是左A-忠实模,因此对于任意的a∈A有

(6)

在(1)中取m=b=m′=b′=0,对于任意的a,a′∈A有

展开上式,

[[a0a+pA(a),a0a′+pA(a′)],a0a′+pA(a′)]=[[a,a′],a′].

因此

因此f(m)=0.

由(5),对于任意的b∈B有pB(b)=0.类似地,由(6),对于任意的a∈A有pA(a)=0.因此,对于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

第三步:t=-s.

在(1)中取m=b=a′=m′=0,a=1A,b′=1B,有

展开上式有(a0t+sb0)b0=0.因为a0⊕b0∈Z(U),所以

因此,t=-s.

综上所述,对于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

证毕。

下面我们给出上三角矩阵环上强2保交换广义导子的表示形式。

设n≥2是整数,Tn(S)是含有单位元的环S上的上三角矩阵环,则Tn(S)可以表示成

其中Sn-1为S上1×(n-1)矩阵空间。

推论1 设S是含有单位元的不交换素环,Tn(S)是S上的上三角矩阵环且n≥2.若广义导子g满足对于任意的x,y∈Tn(S)有[[g(x),g(y)],g(y)]=[[x,y],y],则g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(S)In,u∈Tn(S)且λ3=In.

证明 因为S是不交换素环,所以S没有非零中心理想。再由引理3,Z2(S)=Z(S),所以Z2(S)不含S的非零理想。因此,Tn(S)满足定理1中所有条件.从而g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(S)In,u∈Tn(S)且λ3=In.

证毕。