对一道函数综合题的突破与反思

张维茂

[摘  要] 二次函数是初中数学的重点知识，以其为基础命制的综合题也是历年中考的压轴题，该类考题的破解需要充分把握问题特征，利用关联知识和相应的策略对问题简化突破. 文章以一道函数与几何综合题为例，开展思路突破和解后反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 函数;几何;面积;模型;变式

真题呈现

如图1所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，点B为半圆上的一点，连接AB并延长至点C，使得BC=AB，过点C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点，试回答下列问题.

（1）∠OBA的度数;

（2）试求抛物线的函数解析式;

（3）如果点P是抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点构建四边形POAE，记该四边形的面积为S，則S取何值时，相应的点P有且仅有三个？

思路突破

本题目属于二次函数综合题，题干给出了图像构建的过程，以及相关点坐标和线段长的条件. 其中涉及了直线、半圆和抛物线三类曲线，三小问分别求角的度数、抛物线的解析式以及研究四边形面积，其中涉及函数和几何等知识，需要利用坐标与方程的关系和几何与抛物线的关系来突破. 下面对考题开展思路突破.

第一步，巧用定理，直接定角

第一问求∠OBA的度数，而点B位于以OA为直径的半圆上，根据直径所对圆周角定理可直接确定∠OBA=90°.

第二步，构辅助线，三点定线

第二问求经过O，E，A三点的抛物线解析式，一般将抛物线的解析式设为y=ax2+bx+c，其中含有三个参数. 从点坐标构建求解方程组角度思考，需要利用三个点的坐标，因此本题可以转化为求O，E，A三点的坐标. 需要注意的是点O和点A分别位于x轴上，且位于对应的直线上，因此可以结合直线的解析式来求解，具体如下：

连接OC，因∠OBA=90°，则OB⊥AC，又知BC=AB，则OB为线段AC的垂直平分线，所以OA=OC=10. 分析知△OCD为直角三角形，在该三角形中OC=10，CD=8，利用勾股定理可求得OD=6，所以点C的坐标为（6，8）. 点E是直线OB和CD的交点，利用点B和点O的坐标可求得直线OB的解析式为y= x，令x=6，可得y=3，则点E的坐标为（6，3）. 所以三点的坐标分别为O（0，0），E（6，3），A（10，0），求过三点的抛物线解析式，有两种方式，一种是将其设为通式：y=ax2+bx+c，然后将三点的坐标代入其中，可得c=0，3=36a+6b+c，0=100a+10b+c，化简后可求得a=- ，b= ，c=0，可确定抛物线的解析式;另一种是利用抛物线与x轴交点坐标的特殊性，将其解析式设为y=ax（x-10），只需将点E的坐标代入其中即可，可求得a=- ，化简后同样可确定抛物线的解析式，上述两种方法求得的抛物线的解析式均为y= - x2+ x.

第三步，模型构造，面积转化

第三问利用图像中的四点构建了相应的四边形，分析面积为何值时P点有三个，因此需要对其点P的位置加以讨论，并结合点P的位置来构建相应的四边形面积模型，通过分析几何面积来确定答案，由于四边形的形状不规则，可采用面积割补的方式，具体如下.

由于点P在抛物线上且位于第一象限，因此可将其坐标设为p，- p2+ p，由于图像中点O，A，E三点的坐标固定，其中点E位于直线CD上，因此可将点P的位置分为位于CD左侧和右侧两种情形来加以讨论：

①当点P位于直线CD的左侧时，延长OP，交CD于点Q，如图3所示，OP的解析式为y=- p+ x，可确定点Q的坐标为6，- p+ . 对于四边形POAE，可以视为是由△OAE和△OPE组成，而△OPE的面积可进一步拆解为S△OQE-S△PQE，所以四边形POAE的面积可最终表示为S？荀POAE=S△OAE+S△OQE-S△PQE. 结合三角形的面积公式和关键点的坐标，可进一步转化为S？荀POAE= ·OA·DE+ ·QE·Dx- ·QE·（Dx-Px）=- p2+ p+15.

②而当点P位于直线CD的右侧时，延长AP交CD于点Q，如图4所示，设AP所在直线的解析式为y=kx+b，将点P和点A的坐标代入其中，可解得AP所在直线的解析式为y=- px+ p，可确定点Q的坐标为6， . 对于四边形POAE，同上述面积割补法，可将其面积表示为：S？荀POAE=S△OAE+S△AQE-S△PQE. 结合三角形的面积公式和关键点的坐标，可进一步转化为S？荀POAE= ·OA·DE+ ·QE·DA- ·QE·（Px-Dx）=- （p-8）2+16.

当点P的位置位于CD的右侧时，四边形POAE的最大面积为16，此时点P的位置只有一个，令- p2+ p+15=16，可解得p=3± ，即在CD的左侧，面积为16时点P的位置有两个，综合可知面积S为16时，相应的点P有三个.

解后反思

上述是初中数学常见的二次函数综合题，其特殊之处在于将函数曲线相结合，综合考查学生的函数与几何知识，其中核心之问为第（2）和第（3）问，下面对其解题的关键点和核心方法加以探究，并对问题适度拓展变式.

1. 问题突破的关键步骤

上述考题的第（2）问求抛物线的解析式，需要获得点E的坐标，而突破的关键一步是连接OC，确定OB为AC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质定理获得等线段长条件，这是后续求点E坐标的基础，其突破思路也是利用几何性质求解代数问题的典型代表. 而第（3）问属于四边形面积背景下的点个数问题，其突破的关键有两步：一是基于点的相对位置关系对其加以分类讨论，二是采用图形割补的方法构建不规则图形的面积模型.

2. 问题的核心突破方法

解抛物线背景下的几何面积问题，最为有效的方法是首先利用面积割补的方式将其转化为求解规则三角形的面积，然后利用设出坐标参数表示关键点和线段长，利用面积公式构建几何面积与线段长之间关系，将几何面积表示为关于坐标参数的函数，最后利用函数的性质来求解. 其中线段长是连接几何面积与点坐标之间的联系纽带，在学习中需要强化点、线、面三者之间的关系.

3. 问题的变式拓展

第（3）问实际上是与点位置相关的几何面积问题，对于该问还可以做出如下变式.

变式1：当以P，O，A，E为顶点构建四边形POAE的面积为16时，求此时点P的坐标.

推荐思路 实际上该种问法与原题类似，虽未明示满足条件的点P有三个，但充分讨论后可以得出. 解析时同原问题思路，首先讨论点P的位置，然后利用几何割补的方式构建面积模型，求出所有面积为16的点坐标.

变式2：當以P，O，A，E为顶点构建四边形POAE，试求面积最大时点P的坐标.

推荐思路 求面积最大值时点P的坐标，同样需要对点P的位置加以讨论，构建相应的面积模型. 基于考题分析，可确定点P位于CD的左侧时，S=- p2+ p+15=- （p-3）2+ ，点P位于CD的右侧时，S=- （p-8）2+16，由于 >16，显然第一种情形四边形的面积可取到最大.

教学建议

1. 注重知识关联，综合应用突破

上述实际上属于函数与几何的综合题，在求解解析式和分析点坐标时均充分利用了相应的几何知识，因此在教学时，除了需要引导学生掌握函数与几何的知识定理外，还需要对两者之间的关联进行探究. 例如利用函数上两点之间的点坐标可以求得线段长，分析点坐标可以确定几何图形的特征等. 通过对关联知识的整合，不仅可以完善知识体系，还有利于促进解题思路的形成，这对于函数与几何综合题的突破是十分关键的.

2. 重视解后反思，形成解题策略

构建解题思路、形成方法策略是开展考题教学的意义所在，因此在教学中需要重视解后反思，引导学生挖掘问题特征，反思条件之间的关联，贯通问题突破的思路，总结问题转化变形的策略. 而对于一些较为典型的问题，则可以开展多解探究，从不同角度对问题加以分析，尝试使用不同的方法解决问题. 开展多解探究不仅可以提升学生的解题能力，还可以强化学生的解题方法.

3. 深化问题变式，拓展解题思维

变式探究是中学阶段十分重要的教学方式，通过变式教学可以使学生把握问题结构，认识问题本质，还可以拓展学生的视野，提升学生的解题思维. 例如上述第三问的变式探究中可以使学生认识到问题的本质是以函数为背景的几何面积问题，因此解题时只需构建相应的面积模型，利用函数上的点坐标对其加以转化即可. 而在教学中需要教师设置引导性问题，使学生认识到问题的核心内容，然后结合所学适度变式，增强学生的综合能力.