拓展初中数学知识 促进学生深度学习——以“反比例函数中的等积变形”为例

(东恩中学，浙江 宁波 315000)

0 引言

深度学习的概念是美国学者马顿和塞里欧借鉴布卢姆认知维度层次划分理论提出来的[1].他们认为浅层学习认知水平较低，一般处于记忆、理解层面；深度学习要求实现更高层次的目标，如应用、分析、评价和创造[2].马云鹏认为，数学深度学习是以数学学科核心内容为载体，以提升学生的综合素养为目标，整体分析与理解相关内容本质，提炼深度探究的目标与主题，了解学生学习特定内容的状况，通过精心设计问题情境，引发学生认知冲突，组织学生全身心参与学习互动，围绕具有挑战性的学习主题深度探究，使学生体验成功、获得发展的有意义的学习过程[3].可见，数学深度学习关注数学内容的本质与变式，关注数学知识的联想与结构，关注学生的活动与体验，指向学生综合素养的提升等等.

基于教材知识的拓展课是初中数学常用的拓展课开发策略，即充分挖掘教材知识的内涵和其中的数学思想方法，对教材内容进行延伸拓展.由于其形式灵活，重在学生综合素质的提升，因此在初中数学拓展课中实现学生深度学习是可行的.“反比例函数中的等积变形”是常见的拓展内容，但以往的教学往往聚焦于知识及解题技巧的掌握，忽视学生在活动过程中问题本质的体悟、知识之间的相互联系以及问题解决方法的产生等等.下面笔者以“反比例函数中的等积变形”为例探索如何在数学拓展课中实现深度学习.

1 促进深度学习的初中数学教学案例展示及分析

“反比例函数”是浙教版《数学》八年级下册第6章的内容.这一函数是学生进入初中后接触的第一类曲线型函数，是后续学习其他函数的基础.反比例函数的核心内容是其函数表达式、图像及其性质，尤其是图像“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系.本节课是建立在学生学习了反比例函数的基本内容之后，对反比例函数知识的合理拓展和深化.具体教学过程如下：

1.1 观察图像，解释内容本质

图1图2图3图4

生1：面积分别为6,6,3,3.

师：你是怎么算出来的？

生1：设双曲线上的点的坐标，把它们转化成线段的长度.

图5图6图7图8

生3：都是3.

师：为什么？我看长得都不一样.

生3：利用小学阶段所学的“平行线间距离处处相等”.

设计意图问题1是在复习反比例函数相关知识的基础上，从解析法过渡到反比例函数解析式中k的几何含义的运用.在平面直角坐标系中研究几何问题常用的方法是解析法，但是涉及到反比例函数这一类特殊函数时，会发现这类几何问题的本质是k的几何含义的运用.问题2是在问题1的基础上的一种变形，需要结合小学阶段学过的求三角形面积的基本图形“同底图和同高图”来解决问题，但其实质也是对k的几何含义的运用.

1.2 逆向思维，增强学生的创新意识

图9图10图11

学生反馈的典型图例如图9～图11所示.

生4：利用等积变形可变形出多种图案，面积为2的四边形如图12～图14所示.

图12图13图14

设计意图问题3和问题4是问题1、问题2通过逆向思维自然提出来的开放性问题，它需要学生通过观察、分析、对比、猜想、推理等一系列探究活动，多角度、多层次地探索数学问题.学生的设计精彩纷呈，除了常规意义上的矩形割补得到相应面积之外，还能通过一些等积变形得到其他形状的图形，充分激发了学生的创造力.

1.3 善用变式，形成活动经验系统

本节课完成知识点梳理后安排3个小练习进行应用.

图15图16图17

1)AC⊥x轴，则△OAC的面积是______；

2)联结BC，则△ABC的面积是______；

3)延长AC,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，则△ABD的面积是______，矩形AEBD的面积是______.

设计意图这里设置3个练习的目的有两个：一是进一步突出k的几何含义；二是在解决问题过程中要将k的几何含义的运用与相关几何图形的特征综合考虑.练习1就是问题2中的图7带上字母和数据后的一个实例.练习2是当k<0时的数据应用，难度不大，主要是对于问题1和问题2的一个补充.练习3是复杂图形的变形，为了培养学生在复杂图形中精准找到基本模型的能力，其中第2)小题要用到反比例函数的中心对称性，利用y=kx的图像经过原点从而发现OC是中线，再利用“中线平分三角形面积”(即“同高图”)得到结论;第3)小题是在第2)小题的基础上应用了全等(有些学生会想到中位线)发现BC是△ABD的中线，进而得到结论.这3个练习为后面的挑战作了铺垫.

图18

生6(笑)：字母这么多，很容易算错的.

师：点E，F的共同特征是什么？

生7：在反比例图像中，矩形面积都是|k|.

师：那么F是中点这个条件，又给这些k矩形带来了什么？

生8：面积是矩形OABC的一半，这样点E的k矩形也是它的一半了，因此E也是中点了.

图19

图20

师：△ABC与反比例函数的唯一联系是什么？

生9：点B.

师：如何让点B参与到求k中？

生10：联结BE，利用同高图，这样△ABE的面积就是k的一半.

师：△ABE的面积又可以转化成什么？

生11：……

师：中线AD给我们带来的面积变化是什么？

生12：平分面积.明白了，AD不但是△ABC的中线，也是△BCE的中线，因此△ABE的面积和△ACE的面积相等.

图21

设计意图解析法在挑战2的解决过程中更显无力和繁琐，使学生进一步体会到利用反比例函数中k的几何含义进行解题的优越性.挑战2因为点B是唯一一个在反比例函数上的点，当联结BE后，利用同高图可得△ABE的面积是点B的k矩形面积的一半，再利用“中线平分三角形面积”(即同高图)发现，此时的图形其实是“燕尾模型”，进而得到△ABE的面积和△ACE的面积相等.变式2利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，发现△OAD是等腰三角形，它的面积与点D的k矩形面积相等，从而得到Rt△OAB的面积等于2k，而Rt△OAB的面积等于△OEB的面积加上点E的k矩形面积的一半，这样利用方程就可得k的值.

2 促进学生深度学习的初中数学拓展课的教学启示

2.1 运用变式，凸显本质内容，形成数学活动经验系统

为使得学生能够真正实现深度学习，变式是一种常用的策略.文献[4]认为，变式可分为概念性变式和过程性变式.那么，在教学过程中可以通过两种方式来实现深度学习：一是在“变式”中理解知识.如问题1和问题2给出了k矩形和k三角形的多种图形，教师让学生在计算中辨析，在辨析中总结其本质内容，即k的几何含义.二是在问题解决过程中采用过程性变式.如采用两种方式，即一个问题多种解决方法和一个问题多种变化.前一种方式不仅让学生体会到解析法与k的几何含义这两种方法之间的联系，还在比较中得出最优方法；后一种方式可以让学生体会到问题之间的相互联系.这两种方式都有助于形成数学活动经验系统.

2.2 设计问题链，形成数学知识结构与认知结构

文献[5]认为，问题链可以实现数学深度学习.文献[6]提出，“问题链”是指在课堂上呈现给学生的、有序的主干问题串.可见，这些问题并不是单个的、孤立的，而是有关联的，可以是知识内容上的，也可以是思想方法和研究视角上的关联.问题1和问题2是基础性问题，旨在引出解决几何问题的新方法，即k的几何含义的运用；问题3和问题4是从逆向思维角度引申出的问题，旨在进一步理解k的几何含义；练习是对前面问题解决方法的巩固、概括，也是为了引出综合性问题，即将k的几何含义与几何图形的特性结合起来解决问题，为挑战1和挑战2的解决奠定基础.可见，这些互相关联的问题将反比例函数的相关知识向纵深拓展，进而培养学生解决综合问题的能力.

2.3 设置开放题，增强学生的参与度与创新意识

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中提出，创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.开放性问题一般具有结果开放、思路开放、对象开放等特点，是培养学生创新意识的重要途径[7].本文利用逆向思维，设置了不同难度的两个开放性问题，充分调动学生的积极性，让不同程度的学生都能找到解决问题的思路，让不同的思维火花进行碰撞，在赞叹他人方法美妙的同时，促进思维的提升，进而达到深度学习.

数学教学是思维的教学，更应该注重于“想”的过程，而深度学习正是通过教师的课堂组织，去引导学生“如何想”“想什么”.变式、问题串、开放性问题都是指向思维、揭示本质的教学，让学生多角度、多层次、有序地经历“做数学”的过程，使其感悟一类问题解决的本质，建构数学知识之间的关联，从理解、整合、分析到再创造的过程中真正实现深度学习.