对“一道几何题引出的关于辅助线教学的思考”的深度思考

(岭南中学，上海 200435)

拜读了文献[1]后笔者深受启发，对如何“从开展基本活动入手积累丰富的添辅助线经验并强化思维推理能力培养”的做法有了深入了解．不过，正如徐老师所言“辅助线作法怎么教是困扰几何教学的一大难点”，遗憾的是通读文献[1]发现例题的所有解法只是解题过程的再现，缺少思路生成的深入剖析，对学生思维能力的培养示范性不强，读后总有意犹未尽之感．下面笔者不揣浅陋，借助“知识溯源式目标分析法”对原文解法进行重新解读并推荐几种新的解法，从教“怎样想”入手，详细剖析辅助线的生成本源，不当之处欢迎广大同仁斧正．

图1

1 辅助线生成的思路探究

例1如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，M为边BC的中点，ME∥AD，分别交BA的延长线于点E、交边AC于点F．求证：

1)AE=AF；

思路探究由条件和“等角对等边”不难证明AE=AF，可得AB+AF=BE，因此第2)小题就转化为证明BE=CF．虽然初中阶段证明线段相等的知识源较多(常见的有“线段中点的意义”“全等三角形对应边相等”“等角对等边”“中垂线与角平分线的性质”和“平行四边形对边相等”等)，但由题设和BE与CF的位置特征来看，宜选择“全等三角形对应边相等”加以证明．注意到BE与CF所在的三角形均不全等，需重新构造．若以BE所在的△BEM为目标三角形构造全等三角形，虽然∠E=∠AFE=∠CFM，但BE=CF相等正是要证的，因此不能依据“SAS”定理构造全等三角形(即在射线FM上截取FG=EM)，只能另辟蹊径．考虑到BM=CM，则BM的对应边必与CM相等，进而想到以点C为圆心、CM为半径画弧，交射线FM于点G，构造△CFG(如图2)，则∠G=∠CMG=∠BME，依据“AAS”定理易证△BEM≌△CFG，问题迎刃而解．

图2图3

另外，由M为BC的中点和中心对称图形想到倍长EM至点G，构造与△BEM全等的△CGM(如图3，其实就是依据“SAS”构造全等三角形)，得CG=BE，且∠G=∠E=∠CFG，从而CF=CG，问题也得证．

若以CF所在的△CFM为目标三角形，则可以点B为圆心、BM为半径画弧，交射线EM于点H(如图4)，联结BH，则∠BHM=∠BMH．又∠BHM+∠BHE=180°且∠BMH+∠CMF=180°，得∠BFE=∠CMF．由“AAS”定理也可证△BEH≌△CFM，得BE=CF，问题得证．

图4图5

当然，也可通过倍长FM至点H，直接构造与△CFM全等的△BHM(如图5)进行证明．

其实，第2)小题若用“知识溯源式目标分析”，则可得到更多有趣的辅助线添法．具体说来就是先依据“证明线段二倍关系”的解题目标，追溯初中阶段与“线段二倍关系”有关的知识源主要有“线段中点的意义”“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”“三角形的中位线等于第三边的一半”“梯形的中位线等于上下底和的一半”和“计算推理验证(即求出两线段的长)”等，然后结合题目的条件选择合适的知识源逐一证明．

若用知识源“线段中点的意义”处理，自然想到延长BE至点N，使BN=2BE(如图6)，则问题就转化为证明AB+AC=BN(即AN=AC)了．联结CN，易知AD∥ME∥CN，得∠N=∠BAD=∠CAD=∠ACN，从而AC=AN，问题得证．

图6图7

当然也可延长CF至点N，使CN=2CF，联结BN(如图7)，则AD∥ME∥BN，从而

∠N=∠CAD=∠BAD=∠ABN，

于是AB=AN．又AE=AF，故NF=BE，问题得证．

类似地，也可把AB与AC整合成图7中的CN，证明也是手到擒来之举．

既然可以整合，当然也可考虑拆分，即证明

图8图9

若取AC的中点Q(如图9)，联结MQ，则

问题转化为证明MQ+AQ=BE．注意到AE=AF，问题又转化为证明FQ+MQ=AB．而AB=2MQ，只需证明FQ=MQ即可．显然

∠QMF=∠E=∠BAD=∠CAD=∠QFM，

从而FQ=MQ，问题又一次迎刃而解．

图10

问题转化为证明BE=MQ．由MQ∥AC得

即P为AB的中点，由图8可知PM=PE，故问题又转化为证明PQ=PB=PA．易证∠PQA=∠O=∠BAO，问题得证．

考虑到题目中缺少直角三角形和30°角，故不必考虑运用知识源“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”和“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半”处理(当然，在实际教学中若能为这两个知识源再选配适当的中考题，引导学生深入分析运用它们解决问题的本质，则必然能极大地提升学生处理“线段二倍关系”类问题的迁移与类化能力)．有趣的是，徐老师在文献[1]中给出了运用知识源“计算推理验证”证明结论成立的妙法(详见文献[1]证法4)，限于篇幅，此处从略．

2 两点感悟

从文献[1]的统计数字可以看出，做对第2)小题的学生只有22.2%，徐老师也从学的角度对如何加强学生构造辅助线能力作了深入剖析，并提出了有效的应对策略．不过，笔者的实践感悟是：教师在习题教学时只教“怎样做”不教“怎样想”也是造成学生作辅助线难的一个不容小觑的诱因．由于教师只“分析”解题过程，学生的所谓“懂了”也仅停留在理解解题过程的“听懂”层面，并未了解解题思路生成的本源，等到独立解题时只是依赖过往经验或临场顿悟，时常感到无从下手也就在所难免了．对此，笔者有两点做法值得参考．

2.1 借助知识溯源，明确解题方向

如何添辅助线之所以成为解平面几何题的一大难点，是因为学生对解题方向不明，导致不知如何入手．其实就转化思想而言，所有数学问题都是运用所学过的知识加以解决的，因此与解题目标相关的知识源就是解决问题的致胜法宝．因此笔者在解题分析时总是引导学生首先要明确解题目标是什么(如例题的目标就是证明线段间的二倍关系)，然后追溯与目标相关的知识源(与线段二倍关系有关的知识源常见有6种，见上)，最后结合条件选择适当的知识源处理，并戏称为“知识溯源式目标分析法”．与文献[1]直接呈现证法相比，借助知识溯源的处理方式的优越性在于：指明了处理“线段二倍关系”问题的六大思考方向与处理策略，找准解决问题的切入点，挖掘出解题思路和辅助线生成的本源，从而引导学生学会思考、学会分析、学会优化(即学会“怎样想”)，学生处理问题的能力自然也就得以逐步提升，看到答案后方才恍然大悟之痛也就会越来越少．另外，“知识溯源”还较好地诠释了“一题多解”的生成本源，揭开产生“一题多解”的神秘面纱，值得细细品味．

2.2 强化调控技巧，提高转化能力

众所周知，解决数学问题就是由条件向结论和由已知向未知不断转化的过程．但有了明确的转化方向和有效的处理策略并不代表转化过程就一马平川，遇到障碍也在所难免，这就要求学生还应具备丰富的转化技巧，即较强的思维受阻调控力．就平面几何而言，掌握一些基本图形的构图策略是提升学生转化技巧的重要途径，如例题思路探究中的“倍长中线”与“构造中位线”就是处理线段中点这一基本图形的两大常见技巧、作平行线构造等腰三角形则是处理角平分线的常用技巧(当然作垂线和构造全等三角形是处理角平分线的另外两大技巧)、“截长补短”又是整合两条和线段的基本技巧，恰当运用对调控受阻思维自然大有裨益，甚至有柳暗花明之效．不过对于基本图形的构图策略切忌让学生死记硬套，而要剖析构图的来龙去脉，引导学生依据条件顺势而为，否则就会弄巧成拙．其实，“倍长中线”的本质就是利用“SAS”定理构造全等三角形，当然三角形全等的其他判定定理也是构图的重要依据，切不可视而不见．只有深入了解这一构图本质，再依据条件并适当选择目标三角形，构造全等三角形时才能得心应手．

总之，提升学生作辅助线的能力是个潜移默化的长期工程，很难一蹴而就．但只简单地罗列几种不同方法的解题过程，而不深入剖析辅助线生成的来龙去脉，如此“潜移默化”就只能依赖“题海战术”训练学生条件反射式的构图能力了．事实上，只有从教“怎样想”入手，加强学法指导，才是“授之以渔”的习题教学之道也！为此笔者曾不断倡议：习题教学要尽力做到3个“坚持”——坚持以知识转化为思路引领；坚持以“怎样做、怎么想到这样做和同一类型还可怎么做”三步曲为操作模式；坚持以“培养学生分析问题能力”为解题宗旨．唯有如此，方能把“减轻过重学业负担”和“培养综合学力”真正落到实处，让学生体验到学习数学的乐趣．