多变量航空发动机控制器设计

纪 玮

（中国航发沈阳黎明航空发动机有限责任公司，辽宁沈阳 110043）

1 增广LQR（ALQR）控制方法

LQR（线性二次型调节器）控制具有很强的鲁棒性，尤其具有无穷大的幅值裕度和大于60°的相位裕度，并且其稳定裕度非常大，航空发动机科研人员对此控制结构也产生强大兴趣。各控制回路之间的耦合要求高，LQR 控制方法受到制约，故有的学者将其改进为ALQR 方法。ALQR 方法不仅具有方法的稳定裕度，而且由于将误差增广为状态量，使其具有了鲁棒跟踪能力，同时在一定程度上解决了LQR 所不能解决的耦合问题。具体系统设计如下：

式中：x 为系统状态，y 为被控量，u 为控制量，A、B、C、D 为适维矩阵。

为了实现鲁棒跟踪的设计目标，对公式（1）进行微分可得下式：

式中，指令r 为阶跃信号，即r=a·1（t），其中a 为常量，则误差e=r-y。

对公式（3），要使系统设计状态稳定，即状态变量不随时间而变化，要求状态量为零，可消除公式（1）的稳态误差e，这就满足了鲁棒跟踪的需求。得出控制系统框架（图1）。

2 LQ/H∞控制器结构设计

图1 控制框

多变量鲁棒控制系统中，H2/H∞控制在鲁棒跟踪和干扰抑制方面具有优良的性能[1-2]，对于控制器设计，除了要求稳定性能，还要具有较快的响应速度、较小的超调或者没有超调、较强的抑制外界干扰能力，为此设计了多输入多输出控制系统

式中：x 为系统状态，y 为系统输出，u 为控制量，w 为系统扰动，A、B、C、B1、D1为适维矩阵。公式中x、y、u 均应理解成系统在平衡位置的偏差量，为简化起见，本文中省略了符号Δ。

为了保证系统动态品质良好，保持抑制度，对公式（4）进行适当变换，可得

对动态性能指标进行跟踪，由于发动机控制系统要具有较快的响应速度，则系统输出也有较快的响应速度，那么就要求系统具有较大的带宽，这将会引起系统抑制干扰能力下降，所以在设计过程中，采用多目标优化求解，即将多目标转化为单目标，然后进行加权，求得

式中a、b 为加权系数。

按图1 所示控制器结构设计，采用控制方法，在给定加权矩阵Q、R 的条件下，求解的控制器满足二次型性能指标最小。

式中Q=QT≥0，R=RT＞0。

由此可见，LQR 控制器的性能取决于设计过程中给定的Q、R矩阵，不同的Q、R 会求解出不同的状态反馈增益矩阵进而使得系统具有不同的性能。为此，可以将Q、R 矩阵参数作为被优化量，使得系统具有期望的性能。

3 控制器性能寻优

基础微分进化算法中，采用常值的交叉变量，需要在全局寻优能力和局部寻优能力中折中选择。在此基础上，本文采用线性变化的交叉变量，在寻优的一开始采用较大的交叉变量，使寻优速度较快，到优化后期，采用较小的交叉变量，使算法具有较强的局部寻优能力。

线性变化的交叉变量为：

式中：T 表示当前代数，Gmax表示最大迭代次数，CR1表示最大交叉变量，CR2表示最小交叉变量。

当最优适应度值保持长期不变的代数G 大于最大允许的代数G0时，适当地增大局部交叉概率，扩大寻优范围，促使算法向最优解靠近，从而提高计算的收敛速度和精度。即当G＞G0时，则在线性变化的基础上叠加局部增大。在当前CR的基础上扩大0.5%，并且保持一定的代数，同时重新统计适应度不变的代数，若适应度得到改善，则从当前代数继续按线性变化，否则再次增大CR，但要保证CR＜CR1，直至满足迭代终值条件。

贪婪选择时，不再通过单独比较相应父代和子代个体适应度大小进行选择，而采用对父代和子代个体一起适应度进行排序的方式，按适应度从大到小取NP个个体组成新一代种群。这样能够较好的保护在算法前期产生的优秀个体，避免由于初期CR较大破坏最优解集。因此，将这一改进应用在控制器参数优化过程中，必然可以获得性能更优的控制系统。

4 控制器性能仿真优化

设计过程中，将执行机构视为时间常数为0.1 s 的惯性环节，将Q、R 均设为对角阵，则Q∈R9×9，R∈R3×3，对矩阵的对角元进行寻优。

优化过程中分别选取种群规模为100、CR1为0.9、CR2为0.1、缩放因子F 为0.5，适应度不变最大容忍代数为10，交叉变量增大代数选为5，进化代数为200。所得的控制器为：

为了验证所得控制器的控制效果，基于状态变量模型开展仿真验证，得到在线性系统中1%阶跃的理想系统输出跟踪响应曲线如图2 所示。

图2 线性系统阶跃响应曲线

5 结论

本文研究了多变量航空发动机控制器设计，在增广LQR 控制的基础上，采用LQ/H∞控制方法，对控制器进行设计，并提出一种改进的微分进化算法，对算法的交叉因子采用线性变化结合局部增大的措施，并对父代个体和子代个体进行综合，所有适应度一起排序，确定较优个体进入下一代的种群，提高了算法的寻优速度和寻优精度。通过改进微分进化算法的方式，优化控制器参数，仿真结果表明控制系统具有良好的输出跟踪能力，在包线内不同工作点表现出了良好的鲁棒性。