双重不确定分数阶混沌系统的鲁棒自适应同步控制算法研究

钟 昆 高 嵩 黄姣茹,2 钱富才,2

1(西安工业大学电子信息工程学院 陕西 西安 710021)2(西安理工大学自动化与信息工程学院 陕西 西安 710048)

0 引 言

混沌系统同步控制是混沌系统有效应用于保密通信、图像加密和经济学预测等方面首要解决的核心问题之一，不断完善和发展混沌同步控制算法成为主流方向[1]。随着分数阶微积分理论研究的热潮兴起[2-4]，学者们将分数阶微积分推广到混沌系统中，其结构和特性较之整数阶系统更加复杂多样，不仅包含了整数阶系统所有特性，而且具有记忆性和遗传性等特点[5]。因此，对分数阶混沌系统同步控制算法的研究成为热点。

近年来，考虑到不确定性对控制系统的不可忽略影响[6-7]，不确定分阶混沌系统的同步控制问题引起了广泛关注。文献[8]针对含未知参数的严格反馈分数阶混沌系统，提出自适应反演控制法实现同步并有效估计未知参数。文献[9]提出了非线性控制器与参数自适应律相结合策略，实现参数不确定分数阶混沌系统投影同步。文献[10]研究了含时变参数的分数阶超混沌系统的反同步问题，选取参数自适应律，解决时变参数的摄动问题。文献[11]基于Lyapunov稳定性理论，运用追踪控制和自适应滑模控制方法设计同步控制律，有效消除系统未知参数影响。文献[12-13]针对系统受外部扰动影响，利用分数阶扰动观测器有效估计扰动，然后在同步控制器中加以补偿来达到同步控制目的。文献[14]讨论了含未知上界外部扰动的同步控制问题，设计了模糊自适应同步控制器，给出了使同步误差系统渐近稳定的充分条件。但是，上述研究结果在解决不确定同步控制问题时，要么只考虑了系统内部参数未知或者摄动，要么仅考虑了外界环境对系统带来的扰动不确定影响。

众所周知，由于实际系统所处的环境极其复杂，不确定性往往不只以某一种形式单独存在，即同时含有参数不确定和外部扰动的双重不确定性[15-16]。前者属于可减少的不确定性，它们可以利用来自系统的输出信息进行自学习而减少或者消失。后者属于不可减少不确定性，即不能利用任何系统信息进行消除，但它们可以利用鲁棒控制有效抑制或者削弱[17]。如果仅考虑前者而忽略后者的影响，会使得控制器过于激进和乐观；若只考虑后者，又会使得控制器设计过于保守。

综上，本文针对含未知参数且受有界外部扰动的双重不确定分数阶混沌系统同步控制问题，弥补以往同步控制算法的不足，提出了一种设计方法简单且更易于实现的鲁棒自适应同步控制器算法。基于分数阶Lyapunov稳定定理，利用参数辨识和自适应控制方法，得到分数阶参数估计误差和控制器增益自适应律，严格地证明了使同步误差系统鲁棒渐进稳定的结论，同时得到未知参数的辨识曲线，最终实现了同步控制。

1 预备知识

定义1[18]针对连续可微函数x(t)的α阶Caputo分数阶微分定义为：

Dαx(t)=Jn-αx(n)(t)α>0

(1)

式中：Dα称为α阶Caputo分数阶微分算子且n-1<α0)是α阶Riemann-Liouville分数阶积分定义，其表达式为：

(2)

式中：Γ(·)为gamma函数，其定义为：

(3)

引理1[19]考虑一类分数阶系统：

Dαx(t)=f(x(t)) 0<α<1

(4)

令D⊂Rn是原点的某个值域，现假设假设系统的平衡点为xeq(t)=0，并且假设存在一个连续可微函数V(x(t)):[0,∞)×D→R+和K类函数γ使之满足如下条件：

(5)

式中：x(t)⊂D。如果D=Rn，那么该系统在平衡点xeq(t)=0处是渐进稳定的。

引理2[20]令x(t)∈R为一个连续且可导的函数，则对于任意时刻t≥t0，有：

(6)

2 问题描述

考虑n维双重不确定分数阶混沌系统作为驱动系统：

(7)

相应地，考虑n维响应系统为：

(8)

假设驱动系统的扰动di(t)与响应系统扰动ci(t)均是有界的，并且满足：

|ci(t)-di(t)|≤lii=1,2,…,n

(9)

式中：li为常数且满足li>0。

fi(y)-fi(x)+ci(t)-di(t)+ui(t)=

[ci(t)-di(t)]+ui(t)

(10)

如果存在一个控制输入ui(t)，使得：

(11)

那么，可以说明响应系统与驱动系统实现了状态同步。因此，我们将两个分数阶混沌系统的同步算法设计问题转化为判别分数阶同步误差系统的渐进稳定性问题。

本文主要目的是针对分数阶状态同步误差系统设计一种有效的鲁棒自适应同步控制算法，通过证明同步误差系统的鲁棒渐进稳定性，从而实现系统的同步控制，不仅克服外部扰动对系统的影响，而且能达到辨识未知参数的目的。

3 鲁棒自适应同步控制算法

本节中，以实现含双重不确定性分数阶混沌系统的同步控制为目标，基于分数阶Lyapunov稳定性定理，设计使同步误差系统稳定的同步控制器算法、参数估计误差自适应律和控制器增益自适应律，其鲁棒自适应同步控制算法由下述定理1给出：

定理1分数阶同步误差系统对于任何初始状态都是鲁棒渐进稳定的，当且仅当其同步控制律ui(t)满足：

ui(t)=-(θi+λi)ei-fi(y)+fi(x)-kisign(ei)

(12)

式中：i=1,2,…,n，λi为任意常数且λi>0，ki为控制器自适应反馈增益，其分数阶自适应律满足：

Dαki=|ei|

(13)

(14)

证明：将式(12)代入到式(10)中，有：

[ci(t)-di(t)]+ui(t)=

[ci(t)-di(t)]+[-(θi+λi)ei-

fi(y)+fi(x)-kisign(ei)]=

(15)

取如下形式Lyapunov函数：

(16)

由引理2，对式(16)两边同时求α(0<α<1)阶微分，得到：

(17)

将式(15)代入到式(17)中，有：

(18)

利用绝对值不等式性质，式(18)可以写为：

(19)

由式(9)得：

(20)

若令：

(21)

那么，由式(21)的条件，代入到式(20)且有λi>0，得：

(22)

由引理1，同步误差系统是渐进稳定的。

证毕。

因此，定理1给出的鲁棒自适应同步控制器、分数阶未知参数估计误差自适应律和分数阶控制器增益自适应律能够保证响应系统与驱动系统实现状态同步。下面将通过实例仿真来验证所述同步控制算法的有效性与可行性。

4 实例仿真与分析

本节中，以一类含绝对值项的分数阶混沌系统为同步控制对象，考虑参数未知且受到有界外部扰动的双重不确定性。利用本文提出的控制算法实现同步，同时得到未知参数的辨识曲线，以此验证算法有效性。

考虑含绝对值项的分数阶混沌系统模型表达式为：

(23)

式中：θ1、θ2、θ3是系统参数。在不考虑任何不确定性时，我们取系统参数为θ1=-3、θ2=5、θ3=-10，状态初值为x1(0)=3、x2(0)=-5、x3(0)=-1，系统阶数取α=0.95时的混沌吸引子相图如图1所示。

图1 新分数阶混沌系统的状态相图

当考虑系统受到参数未知和外部扰动的双重不确定性影响时，驱动系统模型可写为：

(24)

相应地，响应系统模型可写为：

(25)

为了实现响应系统与驱动系统的同步，根据本文提出的同步控制算法，设计鲁棒自适应同步控制器为：

(26)

控制器增益的分数阶自适应律为：

(27)

参数估计误差的分数阶自适应律为：

(28)

图2 混沌系统状态同步控制图

由图2可以看出，响应系统与驱动系统的状态控制曲线在有限时间内实现了同步，即两个系统的状态最终实现重合。接下来，仿真得到状态同步误差曲线ei(i=1,2,3)如图3所示，同时绘制出未知参数辨识曲线如图4所示。

图3 驱动系统与响应系统状态同步误差曲线

图4 未知参数的辨识曲线

由图3知，在未知参数和外部扰动的双重不确定性影响下，驱动系统与响应系统的系统状态误差曲线在2.5 s时开始渐进趋向于零，定性地说明了同步控制算法能够最终实现两个系统状态同步。由图4可知，未知参数的估计值可以由任意给定的初始值最终趋近于真实值，证明参数自适应律的设计是符合要求的。由此，证明了所提出的同步控制算法是有效和可行的。

5 结 语

基于参数估计理论与自适应控制理论，本文针对一类含有未知参数和外部扰动的双重不确定分数阶混沌系统的同步控制问题，设计了一种鲁棒自适应同步控制算法。利用分数阶Lyapunov稳定性理论给出了使同步误差系统渐进稳定的参数估计误差和控制增益自适应律设计方法。将设计的同步算法运用到分数阶混沌系统同步控制实例中，数值仿真结果表明提出的算法控制效果好、设计方法简便且易于实现，并具有非常可观的应用前景。