引入EXCEL编程的矩阵位移法教学探讨

黄湘湘

摘要：用EXCEL实施结构力学矩阵位移法，所有步骤和计算结果均以常见表格方式清晰展示，核对各步骤数据简单方便，便于学生查找计算错误、理顺解题思路、巩固力学概念和原理、熟悉数据处理软件解决问题的思维、提高利用计算机软件编程解决实际问题的能力。

关键词：结构力学;矩阵位移法;EXCEL;解题能力

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）21-0154-04

一、引言

结构力学矩阵位移法是从电算角度出发，在解题步骤上以矩阵作为组织运算的数学工具。学生在学习这部分内容时，往往会在单刚计算、集成总刚、解总刚方程、求解单元杆端力这些步骤出现纯数据运算错误，从而导致解题失败。目前大多数杆系结构有限元程序都是用VB、FORTRAN等专业编程软件编写的，中间步骤的运算结果难以直观查看。而EXCEL软件直接可以以表格形式展示单刚、总刚、结点位移向量的运算结果，学生查找核对比较方便。但是，目前以EXCEL编制的矩阵位移法表格比较少见，且有诸多不足，文献[4]只能计算桁架体系，且需要VBA软件辅助，文献[5]中单刚、总刚和综合荷载列向量均无法自动生成，需要手算。

本文编制的用矩阵位移法求解平面结构的EXCEL表格无需学生掌握任何其他软件和编程技能，能自动计算单刚、总刚并求解方程，并且能直观查找每一步计算结果。

二、EXCEL表格简介

用矩阵位移法求解平面结构的EXCEL表格文件可以计算平面桁架、平面刚架和平面组合结构，采用高斯-塞德尔迭代法解方程，得到结点位移和各单元杆端内力。单元类型有三种，分别是：（1）两端铰接单元;（2）两端刚接单元;（3）始端刚接终端铰接单元。这里“刚接”指受到转动约束，故定向支座按“刚接”考虑，其横向线位移不为0。

生成各单元局部坐标系下的单元刚度矩阵时，针对单元类型编号使用IF函数对每个单刚元素进行赋值。

受限于表格形式，本EXCEL表格能计算的平面结构，结点数不大于20，单元数不大于30，结点位移数不大于37。

表格文件分为输入输出表单和计算表单。需要输入的数据有结点数据和单元数据两大类：

1.结点数据：包括结点坐标、结点荷载、结点约束信息。

2.单元数据：包括单元起点和终点编号、材料模量E、截面惯性矩I、面积A、单元类型编号（其中编号“1”表示两端铰接单元、“2”表示两端刚接单元、“3”表示始端刚接终端铰接单元）以及单元非结点荷载数据。

单元非结点荷载即各杆件上的跨间荷载。在各杆局部坐标系下，本表格可以考虑以下五类荷载：（1）1组沿杆轴的集中力（荷载值、荷载位置）。（2）1组横向力（荷载值、荷载位置）。（3）1组跨间集中力偶（荷载值、荷载位置）。（4）1组均布满布荷载（荷载值）。（5）温度效应（截面高度、线膨胀系数、上侧温度变化、下侧温度变化）。

三、平面桁架教学算例

设有桁架如图1，EA=常数，经结点与单元编号后，在电子表格中输入数据，结点数据如图2所示，单元数据如图3所示。由于EA=常数，各单元均输入了完全一致的E值与A值。

数据输入后，EXCEL自动按照各单元格预先输入的公式进行计算，可以得到结点荷载列阵、各杆件单元的杆长和倾角（图4）、单元定位向量（图5）。根据桁架各单元类型编号（均为1），生成局部坐标系下单刚，并进一步生成整体坐标系下单刚。由单刚对号入座形成总刚需要套用EXCEL内置的IF、IFERROR、INDEX、MATCH等函数，生成的总刚如图6所示。

采用高斯-塞德尔迭代法解方程，得到结点位移结果（图7）。桁架单元杆端转角无需计算，这里显示各结点z方向的位移是0。将结点位移结果代入单元刚度方程，得到各单元杆端力（图8），即各杆轴力分别为42.78kN、4.59kN、-17.2kN、-40.98kN和59.0kN。经验证，计算结果无误。

四、平面刚架教学算例

设有刚架如图9，忽略杆件轴向变形，E=30GPa，I1=0.0625m4，I2=0.04167m4，經结点与单元编号后输入数据，结点数据如图10所示，其中结点5为一复铰，与之相连的三根杆件（单元类型编号均为3）在此处的转角都不计算，故5号结点z方向不进行结点位移编号。

单元基本数据如图11所示，通过填写较大的截面面积A值来忽略杆件轴向变形。本例刚架中存在两种单元类型，单元1为两端刚接单元（单元类型编号为2），单元2—4为始端刚接终端铰接单元（单元类型编号为3）。因此，单元2—4的终端均为结点5。本例题无结点荷载，且只有单元1上作用有非结点荷载，填入数据并得到其固端力，如图12所示。结构综合结点荷载列阵计算结果如图13所示。

根据各单元类型，EXCEL自动生成局部坐标系下各单元单刚。图14和图15分别为单元1和单元2在局部坐标下的单刚。由于单元2为始端刚接终端铰接单元，其单刚第6行和第6列的元素均为0。由单刚对号入座生成的结构总刚如图16所示。

解方程后得到结点位移结果如图17。结点4和结点5的水平位移有微小差异，且二者竖向位移均不完全为0，说明各单元都存在微小轴向变形。这与结构的实际受力和变形状态是一致的。各单元杆端力计算结果如图18。经验证，计算结果无误。

五、结语

用EXCEL实施结构力学矩阵位移法，所有步骤和计算结果均以常见表格方式清晰展示，核对数据简单方便。学生对同一题目先进行手算，再用电子表格复核中间步骤和计算结果，便于学生查找计算错误、理顺解题思路、巩固力学概念和原理。此外，电子表格可快速对多组类似结构进行分析，使学生能进一步理解结构几何布置、连接结点的性质假定、构件材料和截面变化、荷载分布、力学假定（比如忽略刚架杆件轴向变形、忽略桁架杆件次内力）等因素与计算结果之间的因果关系，提高学生的概念分析能力。学生在教师的引导下逐步熟悉软件解题思维、提高EXCEL编程能力，还将为后续课程的学习乃至以后的职业生涯开辟更宽广的道路。

参考文献：

[1]杨茀康，李家宝，洪范文，汪梦甫.结构力学（上、下册）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2016.

[2]汪梦甫.结构力学[M].武汉大学出版社，2015.

[3]谢剑，赵彤.Excel在建筑工程中的应用：快速计算工具实例[M].天津大学出版社，2004.

[4]赵明波.EXCEL中计算平面桁架内力与变形的研究[J].四川建筑科学研究，2008，34（4）：53-55.

[5]黄小涛.用EXCEL矩阵函数求解结构力学问题[J].中小企业管理与科技（上旬刊），2010，（5）：250-251.