物块沿粗糙可动斜面下滑问题探讨

邹兆贵

摘  要：通过分析与计算得到了物块沿粗糙可动斜面下滑时的运动规律，并进一步讨论了斜面与物块的质量比对结论的影响。

关键词：粗糙;斜面;下滑

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）4-0058-3

物块在斜面上的运动问题是高中物理非常常见的一类问题，重点考查受力分析、牛顿运动定律。当斜面固定时，问题处理往往比较简单。当斜面不固定，同时斜面光滑时，文献[1-3]已经准确得到了物块与斜面的运动情况。当斜面不固定，同时斜面与物块之间存在摩擦时，情况又如何呢？以下是一道典型例题。

1    问题来源

如图1所示，一质量为M的粗糙斜面静止在光滑的水平面上，把一质量为m的物块从斜面顶端无初速度释放，问物块m和斜面M分别做什么运动？加速度多大？（假设物块m和斜面M之间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ）

2    问题分析与解答

如图2所示，取一小段时间内，设物块m从顶端下滑到图2所示位置时刻，斜面M的水平加速度大小为a2，物块m相对于斜面M沿斜面向下的加速度大小为a3，物块m相对于地面的加速度大小为a1。a1的水平分量大小为a1x，竖直分量大小为a1y。斜面M对物块m的支持力为FN，滑动摩擦力为Ff。物块m对斜面M的压力为FN1，滑动摩擦力为Ff1。地面对斜面M的支持力为FN2。

当sinθ-μcosθ>0，即μ

3    进一步探讨

物块m从斜面顶端无初速度释放，下滑至斜面M底端时，物块m与斜面M的速度v1、v2分别为多少？（假设物块m和斜面M之间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，斜面的长度为L）

为进一步研究v1、v2与斜面和物块质量的比值的关系，令斜面M与物块m的质量比 当θ=37°、μ=0.5时，作出物块m与斜面M的速度v1、v2随k的变化图像，如图3所示（取g=9.8 m/s2）。

从图3看到，随着k的增大，v2一直不断减小。而v1随着k的增大，先不断减小，取得极小值后再不断增大。

当θ=37°、μ=0.5时，作出物块m相对于地面的加速度a1、相对于斜面M沿斜面向下的加速度a3、斜面M加速度a2随k的变化图像，如图4所示（取g=9.8 m/s2）。

从图4看到，随着k的增大，a1、a2、a3均不断减小。但是，随着k的增大，a2 不断减小到0，而a1、a3分别减小到某一个不为0的常数。当k→∞，即M>>m时，相当于斜面固定不动，物块m以大小为a1=a3=gsinθ-μgcosθ的加速度沿斜面下滑。

作出物块m加速度a1、a1的水平分量a1x、竖直分量a1y随k的变化图像，如图5所示。

从图5看到，随着k的增大， a1、a1y不断减小，但是a1x却不断增大。k→0，即M<a1x;当k增大到一定值时，a1y=a1x;此后随着k的增大，a1y

当θ=37°、μ=0.5时，由（10）式知t= ，结合图4知，随着k的增大， a1y不断减小，故t不断增大。（下转第62页）

（上接第59页）

4    结束语

物块沿粗糙可动斜面下滑，物块与斜面均做匀加速直线运动。随着斜面与物块两者质量比值的增大，物块与斜面的加速度均不断减小，而物块相对于地面的水平加速度却是增大的。同时，物块下滑到斜面底端所用的时间随着斜面与物块两者质量比值的增大而增大，物块下滑到底端时的速度随着斜面与物块两者质量比值的增大先减小后增大。当物块下滑到斜面底端时，斜面对应的速度却是随两者质量比值的增大不断减小。当斜面的质量远大于物块质量时，物块相当于沿固定斜面下滑。以上是對物块沿粗糙可动斜面下滑问题的探讨，以飨读者。

参考文献：

[1]李开玮.斜面问题探讨[J].物理通报，2017，36（4）：48-49.

[2]王可达，张之翔.物体在可动斜面上下滑问题的几种解法[J].物理通报，1996（2）：12-14.

[3]赵清锋.斜面滑块模型的动力学特点及其临界问题分析[J].物理教学，2018，40（6）：54-55.

[4]于志明，刘丽丽.再谈“光滑斜面上滑块下滑问题”的求解方法[J].物理通报，2017（7）：9-11.

[5]陈玺君.物块在斜面体上运动的力学问题研究[J].物理通报，2017（9）：105-108.

[6]刘晓.多角度探讨有关不固定斜面问题[J].中学物理，2010，28（5）：19-20.

（栏目编辑    罗琬华）

收稿日期：2018-12-10

作者简介：邹兆贵（1986-），男，中学一级教师，主要从事高中物理教育教学工作。