基于MRF和水平集的图像分割方法

刘旋

(信阳农林学院 财务处，河南 信阳 464000 )

1 引言

图像分割是数字图像处理的一个重要领域，近年来作为图像识别和计算机视觉的基础研究课题受到广大学者的关注。Osher[1]等人自1988年提出了水平集方法以来，曲线演化的形变模型被广泛地应用于图像数字处理等领域。2001年Chan[2]等人提出了CV模型(Chan-Vese Model)，不仅抗噪声能力显著提高,而且对边缘模糊的图像目标有较好的分割结果。李传明[3]等人提出了一种基于区域的水平集图像分割方法，能够较好地处理图像介质不均匀性问题，并成功应用于医学图像分割。唐利明[4]等人在2014年提出了基于变分水平集的图像模糊聚类分割，该算法对噪声图像的聚类分割鲁棒性更强。

现有方法在计算图像信息时，首先假设各区域内像素是独立分布的，因此导致在处理含有大量噪声的图像时，容易受到噪声点的干扰，得到不理想的分割结果。虽然众多改进的水平集方法在很多图像上体现出了良好的性能，能够有效地克服噪声带来的影响，但对于一些较为复杂的图像来说，比如目标被遮挡或缺损，目标与背景的灰度非常接近等情况，如果没有形状先验信息的支持和初始轮廓的选择，分割结果将很难令人满意。

根据上述问题，本文提出了一种基于局部邻域信息的水平集方法。该算法首先用K-means聚类获得图像先验信息和初始演化曲线，然后结合MRF方法得到局部邻域能量信息，加入水平集方法中。该模型可以在较少的迭代次数中分割含大量噪声的图像，并获得较为理想的结果。此外在能量泛函中加入能量惩罚项可以避免较为耗时的重新初始化步骤，使得相应的计算时间大为减少。

2 MRF和水平集理论

2.1 MRF-MAP理论

马尔科夫随机场(MRF)[5]能够将图像分割转化为对像素的标记，将图像分割转化为对像素的分类，其后验概率最大估计(MAP)的数学模型为：

P(ω/F)=P(ω)P(F/ω)/P(F)

(1)

其中,P(F)观测图像F的概率分布，P(ω)是图像数据标签场ω的先验概率。P(F/ ω)是观测场F对于标记场ω的条件概率，其概率函数是符合高斯分布。

(2)

这里,S为图像分割的种类，而μs为标号是s类像素的均值，σS代表s类的方差。当标签场的最大后验概率P(ω/F)达到最大值时，即所有像素都得到最合适的归类。因为观测图像F是已知的，所以P(F)是一个常量，根据文献[4]的证明，可求得P(ω)的概率密度函数如下:

(3)

(4)

这里Z是归一化的常数，参数T控制概率分布P(ω)的形状，C为所有双点势团的集合，Vc(ωc)为势团势能，本文选取ISING 模型，其中β是耦合系数，它的取值一般为2。其中像素点r为像素点s邻域内的点，这里采用8邻域系统，图像中的每一个像素点与其相邻的双点势团有8个，所以标签场的最大后验概率计算如下：

(5)

2.2 水平集理论

水平集方法利用零水平集将运动界面嵌入到更高维的水平集函数中，由闭超曲面的演化方程得到水平集函数的演化方程，进而实现图像目标的轮廓提取[6]。假设二维平面上的曲线由y = f(x)表示，那么可以定义曲面方程为φ(x,y) = y-f(x)，则φ(x,y) = 0就是曲线的隐式表达，即用三维空间中的曲面来隐式表达二维平面上的曲线。

在众多的水平集方法中，Chan-Vese模型利用曲线的内外灰度均值来促进水平集的演化，在分割梯度无用或边缘模糊的图像上取得了较好的分割效果。该模型不仅能够检测内部轮廓，并且对于噪声不敏感，其主要通过最小化公式(6)的能量泛函来实现：

(6)

其中a，λ1和λ2是常数，一般情况下可固定λ1=λ2=1, μ1和μ2分别是演化曲线φ内部和外部的像素灰度均值。L(φ)是某种外部能量泛函，用来驱使零水平集向着图像中的目标边界运动，该项与演化曲线的长度有关。

为了求解能量E(μ1, μ2,φ)的最小值，Chan-Vese算法采用水平集的思想，用水平集函数φ(x,y)表示演化曲线。若像素点(x,y)在φ的轮廓内，则φ(x,y) > 0；若像素点(x,y)在φ的轮廓外时，则φ(x,y) < 0;而当像素点(x,y)刚好在φ轮廓边界上时，则φ(x,y) = 0。通过曲线φ的不断演化，最后求得稳定的最小能量泛函。

3 基于MRF的水平集算法

上述的CV模型也存在着一些问题：(1)不能分割具有灰度不均匀性质的图像；(2)对初始轮廓的设置有一定的依赖性，重新初始化问题。而MRF模型自身没有任何分割能力，需将其嵌入到具体的图像分割算法中去，以达到分割的目的。

对于先验概率P(ω)，本文采用K-means聚类[7]进行求解，使得隶属度函数的分布更加合理，时间复杂度更低，并为CV模型提供优化后的先验信息。K-means聚类是一种快速且高效的聚类方法，可以从图像中计算尽可能多的原始信息。传统的水平集方法中没有考虑邻域信息，对噪声和图像灰度不均非常敏感,而MRF融合了像素的邻域信息，使周围像素也能落入正确的分类中，克服了该算法的弊端，可以获得更理想的分割结果。本文定义新的能量泛函为E(φ):

E(φ)=α·P(φ)+β·L(φ)+EMRF

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，α和β为常数，H(φ)是海氏函数的正则化形式。P(φ)是水平集函数φ的内部能量泛函，代表水平集函数偏离符号距离函数的程度，用来纠正水平集函数与符号距离函数的差[8]。L(φ)为外部能量泛函,用来驱使零水平集向目标边界演化运动[9]。EMRF加入像素的邻域信息到能力泛函中，负责将演化曲线C吸引到目标轮廓上来。EMRF用最大后验概率(MAP)求解，最后根据公式(5)计算MRF泛函的目标能量P(O/F)和背景能量P(B/F)组成：

其中，λ1和λ2是取值为正的常数，O代表曲线内目标图像，B代表曲线外背景图像，通过计算上述能量泛函E(φ)，最终求得稳定的目标轮廓曲线，本文算法的具体流程如下：

Step1：初始化零水平集曲线φ，使用K-means聚类获取初始分割的图像标号场P(F)。

Step2：分别计算演化曲线内部和外部的均值μ1, μ2,、方差σ1,σ2，然后根据公式(5)求得曲线内外的先验概率P(O/F)和P(B/F)，最后根据式(11)计算EMRF能量泛函。

Step3：利用式(8)和式(9)计算图像内部能量泛函P(φ)和L(φ)，然后根据公式(7)求得总能量泛函E(φ)。

Step4：重复步骤1-3，不断演化零水平集方程，经过迭代求得E(φ)n到E(φ)n+1，当满足|E(φ)n+1-E(φ)n|>T时(T为演化阈值)，退出循环；否则继续。

Step5：根据得到的目标轮廓曲线，提取最终的分割结果。

4 实验结果与分析

本文首先选取若干目标模糊的医学图像(血管、细胞)进行实验。通过与文献[9]算法、LBF算法[10]、LIF算法[11]进行实验对比，图1(a)为包含血管和细胞的原始医学灰度图像，文献[9]、LBF算法、LIF算法和本文算法的分割结果分别如图1(b)、图1(c)、图1(d)和图1(e)所示。本文的参数选值为：α=β=λ1=λ2=1,T=0.001。

(a)原始图像 (b)文献[9]算法 (c)LBF方法 (d)LIF方法 (e)本文方法

图1医学图像分割结果

文献[9]算法虽然无需初始化曲线，就能清晰地提取目标物体的弱边界，但是在处理前景模糊的医学图像时，难以演化到正确的边界，如图1(b)中得图像目标边界均没有被正确提取。LBF算法可以较准确地捕捉图像的边界信息，但分割结果依赖于初始轮廓曲线的选择，如图1(c)中的第2幅图像能够得到正确的分割，但是其他图像的分割结果受到初始曲线的影响而不理想。LIF方法能够很好地分割模糊弱边界图像，且不受初始曲线选择的影响，但是当图像含有大量噪声时，曲线就难以演化，如图1(d)前三幅图像均能得到较好的分割结果，但是最后一幅图像包含噪声较多，零水平集曲线难以演化。而本文方法能够克服图像中的噪声，实现自适应演化，不依赖初始轮廓，对弱边界的分割更加准确平滑，与以上方法相比，本文的分割结果更加清晰准确，且抗噪性更好。

为了进一步验证本文改进方法的有效性，本文与文献[4]一种基于变分水平集的模糊聚类算法进行对比，该算法在噪声图像的处理上效果良好。通过选取三幅含有大量噪声的图像进行实验，图2(a)为包含椒盐噪声(δ= 40)的原始图像，文献[4]算法、本文算法的分割结果分别如图2(b)和图2(c)所示。从图2的分割结果可以发现，本文算法在保证抗噪性能的同时，能够得到更平滑、准确的分割轮廓，例如文献[4]算法将飞机图像的阴影也分割为目标图像，而对第三幅遥感图像灰度不均匀的地质信息也没有准确提取，所以，本文算法的鲁棒性更好。

(a)原始图像 (b)文献[4]算法 (c)本文方法

图2噪声图像分割结果

5 结论

图像分割的自适应提取和抗噪声一直是一个难题，本文通过对水平集算法的改进，提出了一种基于MRF的水平集分割方法，有效地解决了目标模糊、包含大量噪声的图像信息提取。通过与一些水平集方法的对比实验进一步说明了本文方法对噪声图像分割的有效性。而对于多目标噪声图像的分割，如何综合多个粒度进行演化分析，将EM-GMM(高斯混合模型)方法纳入MRF能量函数[12]中产生多个粒度下的分割结果，是一个值得深入研究的课题。