基于SVM的连续刚构桥施工阶段及使用阶段可靠度研究*

林友杨 王向阳 关舒元 吴 琼

(湖北省交通规划设计院股份有限公司1) 武汉 430051) (武汉理工大学交通学院2) 武汉 430063)

0 引 言

连续刚构桥在桥梁可靠性分析时，由于结构自身构造及作用荷载的复杂性，其功能函数往往为高度非线性的隐式函数，用传统的可靠度求解方法计算量大，求解过程繁杂.

针对这种情形，国内外许多学者开始寻找一种新的替代模型来求解结构的可靠度，避免对非线性的隐式功能函数求导，Kaymaz等[1-2]在研究结构可靠性时，将Kriging模型引用进来代替结构的隐式功能函数；Gomeso等[3-4]为了解决结构中不能被显性表达的极限状态方程，利用人工神经网络的方法来对结构极限状态方程进行模拟，避免直接对其求导的问题.

文中将支持向量机[5-6](support vector machines，SVM)运用到桥梁结构可靠性分析的领域中，有效地代替不能被显性表达的极限状态方程.与其他替代模型相比，其优点在于样本学习的能力以及泛化性能比较突出，在训练样本比较少的情况下也可以对结构极限状态方程进行真实的模拟，从而解决了工程结构中失效模式的极限状态方程不能被显性表达的问题.

1 支持向量机理论

若是已知样本数据：(xi,yi)，i=1,2,…,l，xi∈Rn，yi∈{+1,-1}，其线性判别函数一般形式为

f(x)=(ω·x)+b

(1)

相应的分类超平面方程为

(ω·x)+b=0

(2)

式中：(ω·x)为两个向量的内积.

为了能使训练样本数据满足|f(x)|≥1，则需要对式(1)进行归一化处理，此时与分类超平面最近的样本有f(x)=1，在对训练样本进行分类时，若想做到不出现误差，则需要符合：

yi[(ω·xi)+b]-1≥0，i=1,2,…,l

(3)

经过归一化处理后的分类间隔就转化为2/‖ω‖，将分类间隔最大化就相当于计算出最小的‖ω‖2.

通过上述的分析，寻找最优分类超平面可以表述为下列问题：

(4)

从式(4)中可以知道所要求解的目标函数是一个凸函数，其中的约束条件也是一个凸集，对于这种优化问题可以称之为凸二次规划，通常对这种问题的求解是采用Lagrange乘子法.于是，将Lagrange函数定义为

(5)

式中：αi≥0为Lagrange乘子.在对式(5)进行最小值计算时，分别对ω、b、αi求偏导，并且令偏导值为0，则得：

(6)

通过结合式(4)以及式(6)，可以推导出以下寻优问题：

(7)

若存在唯一最优解αi*，则有：

(8)

在所有训练样本数据中，能够满足αi*不等于0的那一部分，就是决定最优分类面的支持向量.通过约束条件αi[yi(ω·xi+b)-1]=0可以计算得到分类阈值b*.对于最优分类超平面函数可以详细的描述成：

(9)

为了解决在计算过程中样本数据不能被完全准确分离开来的问题，可以将非负松弛因子ξi引入到约束条件中来，它是用来容许在分类过程中产生的错误样本.因此前文分析过程中的分类超平面(ω·x)+b=0需符合：

yi[(ω·xi)+b]≥1-ξii=1,2,…,l

(10)

当ξi≥1时，训练样本xi分类错误；当0<ξi<1时，训练样本xi分类正确.在对原寻优目标‖ω‖2/2的计算过程中，可添加惩罚项ξi，从而转化为

(11)

由式(11)可知，要使得目标函数值最小，就需要让‖ω‖2和ξi最小化，目标函数中的参数C代表的是非负松弛因子在整个求解过程中所占的权重，此时式(7)可修改为

(12)

通过上述推导过程可知，无论是对目标函数(7)或(11)的优化还是求解最优分类超平面，这一过程都只和训练样本的内积运算(xi·xj)相关.将训练样本数据进行非线性变换后，则在高维空间中就只有(Φ(xi)·Φ(xj))出现，不会产生单独的Φ(xi).因此要是能有一个函数K使得K(xi,xj)=(Φ(xi)·Φ(xj))，则训练样本数据就可以直接在高维特征空间中进行内积运算，构建最优超平面.能够实现上述过程的函数“维数灾难”称为核函数，依据泛函相关原理，K(xi,xj)需要满足Mercer条件.

因此在求解最优分类超平面时，只用通过相应的核函数K(xi,xj)就可以将训练样本数据从非线性分类转变成线性分类，相比于没转换之前，求解的过程也并没有因此而变得复杂，此时寻优目标函数(7)或(11)转换成：

(13)

相应的最优分类超平面函数也转换成：

(14)

2 算例分析

结构的极限状态方程[7]为

X=exp(0.4X1+7.0)-exp(0.3Z2+5.0)-200=0

式中：变量X1，X2相互独立，均服从标准正态分布.采用支持向量机分类算法对该算例进行可靠度计算，首先采用LHS方法抽取10组训练样本，每组1 000个.然后根据每组的训练样本建立可以拟合该结构极限状态方程的SVC替代模型，最后结合蒙特卡洛法随机抽样105次，求解出10组可靠指标值，结果见图1.图中的可靠指标精确值是根据结构真实极限状态方程，采用响应面法所求得.

图1 SVC-MCS法所得可靠指标结果图

为了验证该方法在计算结构可靠度上的准确性，将上述计算的10组计算结果取均值，以此作为该方法最终所求结果，并将其与响应面法(RSM)、蒙特卡洛法(MCS)及一次二阶矩法(FORM)计算结果进行对比，各方法所求结构可靠指标值以及失效概率见表1，其中以RSM法计算结果作为参考值，则可以分析得到本文方法所求结果与参考值之间的相对误差.

表1 可靠指标与失效概率

SVCMCSFORMRSM/%2.722 62.688 82.709 92.710 20.460.003 20.003 60.003 40.003 40.06

由表1可知，采用本文方法所求结构可靠指标值与其他几种方法计算所得结果相差无几，表明拟合得到的SVC模型对结构极限状态方程的重构效果良好，利用该方法所求结构可靠度也满足实际工程精度的需要.3 桥梁结构可靠度分析

3.1 桥梁有限元模型

3.1.1工程概况

黄石市富水河大桥的桥跨布置为三跨70 m+120 m+70 m预应力混凝土连续刚构桥，全桥长260 m，主墩采用双板式墩配承台，边墩采用实板式墩配承台.桥梁上部结构采用单箱单室制腹板预应力混凝土箱梁，全桥共划分为0号块～15号块.其中0号块长12 m，1号块～7号块长3 m，8号～15号块长4 m，中跨合龙段及边跨合龙段均长2.0 m，边跨现浇段长为8.84 m.箱梁顶板宽12.24 m，底板宽6.5 m，悬臂长度2.87 m.在与中间墩墩身对应的梁段5.0 m范围内梁高均为7.2 m，在桥梁边跨及中跨跨中处梁高2.8 m，悬浇部分梁高按1.7次抛物线规律变化.箱梁顶板厚度0.3 m，箱梁底板厚度在主墩处为0.8 m，边墩处及中跨跨中处为0.3 m，其余则按1.7次抛物线渐变.该连续刚构桥的跨中横断面图以及桥型布置图见图2～3.

图2 跨中截面横断面图(单位：cm)

图3 富水河特大桥桥型布置图(单位：m)

3.1.2材料时变性能研究

试验材料均来自桥梁施工现场，制作的试件在户外与主梁悬浇段同步养护，水泥选用华新水泥厂生产的P·152.5高标号水泥；砂取自天然砂，属中砂，II区级配；碎石最大粒径16 mm，最小粒径5 mm，属于5～16 mm连续级配；水为饮用水.

经过初步基准配合比设计与计算，本文试验采用的C50混凝土材料配合比见表2.

表2 C50混凝土配合比

为了研究各龄期C50混凝土的轴心抗压强度以及弹性模量，设计制作了共30个150 mm×150 mm×300 mm混凝土棱柱状试件，在户外与现浇的主梁同步养生，试件示意图见图4，分别对3，5，7，14，28 d的C50混凝土试件进行试验.

图4 棱柱状试件示意图

3.1.3试验结果分析

将试验得到的C50混凝土轴心抗压强度以及弹性模量进行整理，试验值见表3.

表3 轴心抗压强度fc及弹性模量Ec试验值

为了减小在试验过程中C50混凝土弹性模量随时间变化的误差，取同一龄期三块试件所得试验值的平均值，以此作为龄期t时刻C50混凝土的弹性模量.然后根据试验测得的数据，初步选择指数函数、双曲函数、对数函数以及幂函数来描述数据的规律，利用MATLAB拟合上述四条不同的曲线，分别对C50混凝土随时间变化的规律进行非线性最小二乘回归分析，取其中最优方程，4条曲线函数形式见表4.

表4 混凝土弹性模量Ec随时间变化的函数

表4中，a，b，c为回归系数；t为龄期：ρ为MATLAB非线性拟合相关系数；e为和方差.因为连续刚构桥悬浇的混凝土在养护2～3 d后才可以承受荷载，在28 d左右达到稳定状态，故本文仅是对养护3～28 d的C50混凝土力学性能指标进行相关的修正.

C50混凝土弹性模量Ec随时间变化的拟合曲线见图5.通过对选取的四条函数曲线进行比较，可以知道对于施工现场早龄期C50混凝土弹性模量随时间变化的规律，幂函数的相关系数ρ是最大的，和方差e最小.故根据曲线回归的原则，拟合相关系数越大，和方差越小，数据预测的越好，因此选取幂函数来描述施工现场C50混凝土弹性模量与龄期之间的关系.

图5 弹性模量Ec随时间变化的函数

3.1.4建立桥梁模型

在有限元分析软件midas Civil的时间依存性材料板块中自定义C50混凝土早龄期弹性模量变化函数，进而建立该连续刚构桥施工阶段的悬臂结构模型及施工完后的全桥有限元模型，桥梁的上部结构共有93个节点和88个梁单元，施工合龙的顺序为先边跨合龙后中跨合龙.

3.2 桥梁施工阶段可靠度分析

在该连续刚构桥悬臂施工过程中，其线性控制是施工过程中关键的部分.影响桥梁线性的因素有众多，例如在浇筑混凝土时，先浇筑的节段与滞后浇筑的节段在混凝土强度和弹性模量等材料性能上有着较大的差异，并且在悬臂施工过程中，结构也会由短悬臂渐变成长悬臂状态.这些材料性能和受力状态的变化都会对桥梁结构前端的挠度产生影响，因此，本文计算主梁标高控制可靠度，就是考虑材料及荷载变异后，确定桥梁在施工悬臂状态时主梁前端的挠度偏差容许值.

本文选取主梁混凝土弹性模量、混凝土容重、张拉控制应力、预应力钢筋容重，以及预应力钢筋弹性模量等随机变量来对施工过程中主梁前端的标高控制可靠度进行计算分析，主梁标高控制功能函数可表示为

(15)

表5 随机变量参数统计表

当Z=G(X1,X2,…,Xn)>0时，表示施工过程中主梁前端标高控制可靠；若Z=G(X1,X2,…,Xn)<0，则表示施工过程中主梁前端标高控制失效.

利用样本数据训练SVM时，采用K-CV交叉验证的方法来寻找SVM模型中最优的参数，结构的可靠指标值随挠度偏差容许值Δλ变化的规律见图7.通过计算可以分析得到，当该连续刚构桥施工阶段处于中悬臂状态时，主梁前端的挠度偏差容许值Δλ大于3 mm，则结构的失效概率为0，其可靠指标值趋于无穷大，因此图8a)未标出Δλ>3 mm时可靠指标值的大小.当桥梁结构施工阶段处于最长悬臂状态时，主梁前端的挠度偏差容许值Δλ大于24 mm，则结构的失效概率为0，其可靠指标趋于无穷大，因此图8b)未标出Δλ>24 mm时可靠指标值的大小.

图6 连续刚构桥施工阶段

图7 可靠指标值与挠度偏差容许值的关系

众多随机变量的影响，结构的失效概率会较大.因此施工过程中的挠度偏差容许值需控制在一个合理的范围内，通过表3～5中的计算结果可以知道，在桥梁施工至中悬臂状态时，当Δλ=3 mm，可靠指标为4.652，对标高控制较为有利，因此建议在桥梁中悬臂阶段挠度偏差容许值最大不宜超过3 mm；桥梁施工至最长悬臂状态，考虑到对之后合拢工况的影响，挠度偏差不宜过大，当Δλ=24 mm时，可靠指标为4.136，对标高控制较为合理，因此建议该桥梁最长悬臂阶段挠度偏差容许值最大不宜超过24 mm.本文这种分析方法能有效确定标高控制偏差的合理范围，可以适用于其他类似桥梁悬臂施工的挠度控制.

3.3 桥梁正常使用阶段可靠度分析

在该桥梁施工完成后的运营阶段期间，由于连续刚构桥本身结构较为复杂，再加上预应力以及车辆等荷载的作用，其失效路径是相当繁杂的，若是想寻找出所有的桥梁结构失效模式是很难实现的.因此，在查阅相关参考文献[8]的基础上，本文主要是对桥梁结构在正常使用极限状态下的应力失效以及挠度失效进行分析，则该桥的极限状态方程为

(16)

式中：σR为混凝土材料应力限值，若考虑的是压应力失效；σR为标准抗压强度的一半，若考虑的是拉应力失效；σR为标准抗拉强度；σ为桥梁运营阶段预应力混凝土受弯构件截面混凝土应力值；L为桥梁计算跨径；μ为桥梁运营阶段预应力混凝土受弯构件截面挠度值.

选取桥梁关键截面主要是依据桥梁监控原则以及有限元模型计算结果，将其中应力和挠度较大的截面作为关键截面，选取结果如下：①边跨1/3L截面，对应有限元模型9号节点和77号节点；②0号块根部截面，对应有限元模型27号节点和59号节点；③主跨(1/4)L和(3/4)L截面，对应有限元模型35号节点和51号节点；④主跨跨中(1/2)L截面，对应43号节点.

在连续刚构桥正常使用阶段，影响桥梁体系可靠度的变量有众多，本文选择对桥梁结构可靠度影响相对明显的变量作为主要随机变量，其中包括主梁混凝土弹性模量、混凝土容重、张拉控制应力、二期恒载以及车道荷载等.

通过有限元模型计算，可以得到该连续刚构桥正常使用极限状态时的上下缘应力云图，桥梁关键截面的应力和挠度计算值见表6，其中应力负值表示为压应力.

表6 主梁关键截面应力和挠度计算值

从该连续刚构桥梁工程的概况中可以知道，其计算跨径为L=110 m，主梁使用的是C50混凝土材料，通过查阅文献[9]可得，C50混凝土材料的轴心抗压强度标准值为fck=32.4 MPa，抗拉标准强度为ftk=2.64 MPa，结合表3～8中的计算结果及式(15)可知，该桥失效类型主要为压应力失效、拉应力失效以及挠度失效，其功能函数为

(17)

根据表6中关键截面的应力值及挠度值，可以初步确定该桥梁在正常使用极限状态时的失效模式见表7.

表7 桥梁关键截面失效模式

分别对表7中正常使用阶段连续刚构桥关键截面的应力失效模式及挠度失效模式通过支持向量机分类算法进行可靠度计算.考虑到该连续刚构桥结构对称，因此，只需对桥梁结构的9号节点、27号节点、35号节点以及43号节点对应关键截面处的失效模式可靠度进行计算.在MATLAB中求解的各关键截面失效模式可靠指标均值见表8.

表8 各失效模式可靠指标计算结果表

由于在连续刚构桥在正常使用阶段，主梁任一关键截面的破坏都会造成整个桥梁体系的失效，因此该桥梁体系可以看作由各个失效模式形成的串联系统.假设各个失效模式之间相互独立，在不考虑桥梁失效模式之间相关性的前提下，结合表8的计算结果，可得桥梁结构体系的失效概率为

式中：pf为串联体系的失效概率；pr为串联体系的可靠概率；pfi为各个失效模式的失效概率.

综合分析可知，该连续刚构桥梁正常使用阶段的体系失效概率为1.644 9×10-4，可靠指标值为3.591 3.从表8的计算结果可知，该桥梁体系可靠指标主要是由主梁中跨跨中截面下缘拉应力失效起决定性作用，称之为该桥主要失效模式.

4 结 论

1) 对桥梁采用的C50混凝土材料进行试验研究，拟合出了在实际桥梁施工过程中材料弹性模量的时变规律，混凝土弹性模量随着养护时间呈非线性变化，选用幂函数来拟合变化规律最合时宜.

2) 基于所求SVM模型，结合蒙特卡洛法迭代求解出了施工阶段中不同挠度偏差容许值情况下的标高控制可靠度，给出中悬臂节段前端挠度偏差容许值最大不宜超过3 mm，最长悬臂节段前端挠度偏差容许值最大不宜超过24 mm，这种分析方法可以运用于其他类似桥梁施工的挠度控制.

3) 采用SVM计算出了各个应力失效模式以挠度失效模式的失效概率和可靠指标；最后将桥梁结构作为一个串联系统计算出结构体系可靠度为3.591，并且从各个失效模式的计算结果可知，主梁中跨跨中截面下缘拉应力失效对结构体系可靠度起着主要作用.