基于Gardiner公式改进的船体外板回弹预测方法

兰继雷 茅云生 黄 灿 郭 荣

(武汉理工大学高性能船舶技术教育部重点实验室1) 武汉 430063) (武汉理工大学交通学院2) 武汉 430063)

在船体外板加工过程中，回弹现象对准确加工产品几何尺寸有着重要的影响.目前很多学者运用理论分析方法、数值模拟方法及实验研究的方法对回弹预测做了很多的研究[1].

Gardiner等[2]是最先通过理论分析方法对理想弹塑性矩形截面梁纯弯曲回弹进行了研究.Zajkani等[3]采用变化的卸载弹性模量和非线性的随动强化模型分析高强度钢的回弹，其有限元分析结果和实验结果相一致.Sumikawa[4]考虑了材料在发生预应变后的非线性应力应变关系对回弹预测做出改进，其结果与实验数据非常吻合.Yang等[5]分析了考虑变化的杨氏弹性模量和分段强化函数表示的应力-应变关系的先进高强度钢空弯回弹问题.Huang等[6]研究金属窄板回弹时将板材的变形历史划分为加载阶段、自由卸载阶段和非自由卸载阶段，提出了窄板纯弯曲考虑双线性强化模型时的回弹预测公式.金属材料在强化阶段的应力-应变关系更符合幂指数函数关系，所以本文选取幂次模型作为材料的真实应力-应变关系，对Gardiner公式进行改进，提出一种新的弹塑性解析回弹预测公式.

1 基本假设

运用弹性弯曲工程理论中的基本假定：①欧拉-伯努利平断面假设 变形前后横截面为平面，并且其形状和大小不发生改变；②单向应力假设 在弯曲过程中横截面内纵向纤维之间不存在横向应力，各层纤维处于单向拉伸或者压缩状态.

Gardiner在研究纯弯曲回弹时假设材料为理想弹塑性的，从而得到回弹预测公式为

(1)

式中：ρb为卸载回弹前的中性轴曲率半径；ρa为卸载回弹后的中性轴曲率半径；σy为材料单向拉压时的初始屈服应力；E为材料的弹性模量；t为梁的厚度.

实际上材料在加工过程中会产生加工硬化现象，在强化阶段材料的真实应力-应变曲线更接近幂指数函数，这是本文对Gardiner回弹研究做出的改进的地方.

3) 幂硬化材料模型假设 材料的应力-应变关系为

(1)

式中：σy为材料的屈服应力；n为应变硬化指数；εy为材料在屈服点时的应变；E为弹性模量；ε为真实应变；σ为真实应力.

2 弹塑性分析

2.1 加载过程分析

弯曲回弹前后的状态见图1.

图1 回弹前后状态

基于假设1)和假设2)，弯曲前后中性轴的长度不变，弯曲后中性轴的曲率半径为R，距中性轴距离为z处的纤维的应变为

(3)

式中：κ为中性轴弯曲后的曲率，κ=1/R.

弯曲时横截面内应力的分布为

(4)

σy=Eκ1zy

(5)

式中:zy为处于屈服状态的纤维距离中性轴的距离；κ1为弯曲时中性轴的曲率.

弹性区域与塑性区域交界处的应力为材料的屈服应力，即

(6)

2.2 卸载过程分析

卸载后横截面内的残余应变为

εr=κ2z

(7)

式中：εr为卸载后横截面内的残余应变；κ2为卸载后中性轴的曲率.

卸载回弹过程中的应变变化量为Δε，由上分析可知：

Δε=κ2z-κ1z

(8)

弯曲回弹是可以看成是在与加载弯矩大小相等、方向相反的弯矩作用下发生弹性变形的过程，横截面内各纤维层在反向弯矩作用下产生的应变为弹性应变.横截面内切向残余应力为σr：

σr=σ1+EΔε

(9)

即：

(10)

在卸载回弹后，横截面内的残余应力之和为零，各层纤维处的切向应力对于中性轴的弯矩之和也为零，达到平衡状态.

由横截面内弯矩为零可得：

(11)

对式(11)进行积分后整理可得：

(12)

式(12)为考虑弹塑性材料幂次强化，基于平断面假定和单向应力假定，金属材料在单向纯弯曲作用下，经过弹塑性分析得到的一种新的回弹预测方法，该方法是基于Gardiner回弹预测研究，并对其进行了改进.

3 实验验证实验的模型见图2.

图2 实验模型

实验选取了五种不同材料金属窄板，对于每种材料选取五个不同厚度的实验样品，厚度分别为5,6,7,8和9 mm[7].对每个实验样品进行空弯回弹实验，同时对于同一种金属材料设置五个不同的弯曲半径，分别为50,70,100,142和193 mm.这5种金属材料的材料力学属性见表1.实验结果见表2.

通过对上述实验数据进一步分析，其结果见表3.

表1 材料属性

E/MPa σy/MPanWELDOX700-1217 069.7776.2870.043 1WELDOX700-2178 846.6699.8420.042 5WELDOX900-1205 856.3950.8120.038 5WELDOX900-2200 405.4956.0090.038 7OPTIM 9602046201257.590.0255

表2 实验结果与公式预测结果mm

trRR1R2WELDOX700-155052.555.9975 56.6570 WELDOX700-197072.576.3658 77.1295 WELDOX700-18100102.5115.4402 117.0059 WELDOX700-17142144.5181.1480 184.4395 WELDOX700-16193195.5291.9886 298.8574 WELDOX700-26505355.4132 56.0190 WELDOX700-25707383.7012 84.9690 WELDOX700-29100103114.9567 116.4665 WELDOX700-28142145179.0739 182.1995 WELDOX700-27193196283.2590 289.6016 WELDOX900-175053.555.4835 56.0339 WELDOX900-167073.583.4359 84.5634 WELDOX900-15100103.5137.7364 140.2889 WELDOX900-19142145.5181.3713 184.3062 WELDOX900-18193196.5287.5243 293.4321 WELDOX900-28505454.9051 55.4178 WELDOX900-27707481.6495 82.6787 WELDOX900-26100104130.9772 133.2184 WELDOX900-25142146235.2900 240.6810 WELDOX900-29193197276.7469 282.2038 OPTIM 96095054.555.6963 56.0636 OPTIM 96087074.583.4038 84.1369 OPTIM 9607100104.5135.2616 136.8503 OPTIM 9606142146.5246.5512 250.3563 OPTIM 9605193197.5564.8191 575.8494

注：t-实验样品的厚度；r-回弹前的实验样品的曲率半径；R-回弹后的实验样品的曲率半径；R1-Gardiner公式计算出的回弹后的理论曲率半径；R2-改进的公式计算出的回弹后的理论曲率半径.

表3 两种理论预测方法误差

(R1-R)/mm(R2-R)/mm(R1-R)/mm2(R2-R)/mm2WELDOX700-1-0.052 5 0.6070 0.00275 0.368446 WELDOX700-1-0.084 2 0.6795 0.00710 0.461726 WELDOX700-1-0.179 8 1.3859 0.03233 1.920738 WELDOX700-1-0.702 0 2.5895 0.49275 6.705625 WELDOX700-1-3.571 4 3.2974 12.75481 10.872523 WELDOX700-2-0.016 8 0.5890 0.00028 0.346963 WELDOX700-2-0.108 8 1.1590 0.01183 1.343336 WELDOX700-2-0.163 3 1.3465 0.02666 1.812986 WELDOX700-2-0.456 1 2.6695 0.20799 7.126244 WELDOX700-2-2.891 0 3.4516 8.35811 11.913334 WELDOX900-1-0.126 5 0.4239 0.01601 0.179710 WELDOX900-1-0.314 1 0.8134 0.09866 0.661593 WELDOX900-1-1.413 6 1.1389 1.99815 1.297150 WELDOX900-1-1.158 7 1.7762 1.34252 3.154758 WELDOX900-1-4.325 7 1.5821 18.71128 2.503093 WELDOX900-2-0.054 9 0.4578 0.00301 0.209613 WELDOX900-2-0.060 5 0.9687 0.00366 0.938472 WELDOX900-2-0.552 8 1.6884 0.30557 2.850659 WELDOX900-2-4.970 0 0.4210 24.70092 0.177249 WELDOX900-2-2.123 1 3.3338 4.50735 11.113989 OPTIM 960-0.033 7 0.3336 0.00114 0.111260 OPTIM 960-0.176 2 0.5569 0.03104 0.310109 OPTIM 960-0.848 4 0.7403 0.71982 0.548046 OPTIM 960-6.898 8 -3.0937 47.59283 9.571037 OPTIM 960-91.560 9 -80.5306 8383.40672 6485.174957

分别绘出这五种材料的实验样品理论预测结果的误差图，见图3.

图3 五种材料实验样品两种理论回弹预测误差

由图3可知，对于WELDOX700-1和WELDOX700-2这两种材料，Gardiner公式计算出的结果的误差绝对值小于改进的回弹预测公式计算误差绝对值，Gardiner公式计算出的结果小于实验测得的回弹后曲率，改进的回弹预测公式计算的结果大于实验测得的回弹后曲率.对于WELDOX900-2和OPTIM 960这两种材料，改进的回弹预测公式计算出的结果的误差小于Gardiner公式计算误差.当加工的弯曲曲率半径为142和193 mm时，对于这5种材质的金属窄板，改进的回弹预测公式的计算误差明显要小于Gardiner公式计算误差.对于OPTIM 960材料，当弯曲曲率半径为193时，改进的回弹预测公式和Gardiner公式的误差都很大.

4 结 论

1) 当材料的应变硬化指数较大时，Gardiner公式预测结果偏小，而改进的回弹预测公式预测结果偏大，Gardiner公式优于改进的回弹预测公式.

2) 当材料的应变硬化指数较小同时弯曲曲率较大时，改进的回弹预测公式明显优于Gardiner公式.

3) 当材料的应变硬化指数很小时， Gardiner公式和改进的回弹预测公式对弯曲回弹量的计算都不准确.

4) 当弯曲曲率较大时，改进的回弹预测公式明显优于Gardiner公式.

对于理论计算结果的误差分析归为以下几个方面因素：实验数据的测量存在着误差；材料在拉伸产生塑性应变之后再对其压缩时材料的屈服极限会降低，这种现象称为包辛格效应.本文在对材料进行弹塑性分析时没有考虑这种效应，因此，得到的回弹预测公式存在误差；在分析过程中建立的一些基本假设对模型的简化存在着误差.