对量子力学基本概念的教学讨论

【摘要】本文从教学的角度对量子力学的几率的含义做了深刻的探讨，旨在加深学生对量子力学叠加原理、波粒二象性、测不准原理等重要概念的理解。

【关键词】几率  几率幅  波粒二象性  量子干涉

【基金项目】贵州大学引进人才科研项目，颁布时间：2015年11月，颁布单位：贵州大学，项目名称：拓扑态中准粒子激发的分数化研究，No： 201538。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）19-0170-01

量子力学是描述原子与亚原子尺度下微观粒子的力学规律，其运动规律和我们的常规思维完全不同。量子理论表明，物理中某些实验的精确结果并不能获得，但我们可以以一定的概率预言结果。在这种方式的支配下，我们期望计算每一种结果出现的概率。在我们的惯用思维中，几率的概念是针对大量样本而言，对大量粒子的情况下，如大量的电子或者光子，量子力学基于几率的预言是非常令人满意的，其规律和数学中概率的叠加并无两样。但量子力学表明单个粒子就会出现几率的行为，本文我们基于简单的思想实验，基于粒子的概念讨论量子力学中的几率。

量子几率的概念和经典物理中是类似的，如粒子自旋向上的概率就是多次重复试验，向上的次数和总次数的比值。考虑单个电子通过狭缝1和狭缝2，然后再狭缝后放置一个电子探测器屏来探测电子的出现，这里单个电子理论上可以由非常弱的电子发射源实现。电子探测器屏非常灵敏，电子到达探测器屏的某处，某处探测器就给出一个脉冲信号。在探测器做出响应之前，我们假设不会有第二个电子到达探测器墙。对于不同位置x处的探测器，我们可以得到几率随x变化的函数，我们称为相对几率函数p（x）。几率函数p（x）表示电子通过狭缝后到达x处概率分布，实验上得到的分布恰好是发射源处的波源通过两个小孔的干涉强度图像。如图，发射源处的电子必须通过狭缝1或狭缝2才能到达探测器屏，从粒子的角度来看，通过狭缝1有一个概率分布p1（x），通过狭缝2有一个概率分布p2（x），这两个概率分布可以分别遮住狭缝1和狭缝2得到。我们期望总的概率分布是从狭缝1和狭缝2通过的概率的叠加（如图1c），即

但如图1a所示，这个结果和实验结果完全矛盾p（x）≠p1（x）+p2（x）。两孔都开启时，得到的几率分布并不是单孔分别开启时概率的代数叠加。在波动光学中，叠加原理是通过波幅实现的，我们假定粒子分布的波幅可以由复函数？覬（x）描述，且满足：

这一结果和实验结果高度吻合。说明通过狭缝1和狭缝2的电子的概率叠加是不对的。

图1：a为电子通过双缝的实验结果。若仅有狭缝1，则电子通过狭缝后的分布为b上半部分，若仅有狭缝2则电子通过狭缝后的分布为b下半部分。若双缝同时打开应得到c所示曲线。

从粒子的角度理解，当电子发射源强度非常弱，即每一时刻只有一个电子通过狭缝（要么狭缝1，要么狭缝2）。当两个狭缝同时打开时，电子既通过狭缝1又通过狭缝2的表述是不完全的，因为粒子本身必须通过狭缝，从经典概念我们可以区分为1和2两类粒子，到达空间x的次数一定是通过狭缝1和狭缝2的次数之和，即满足：

怎么得到自洽的理解呢？ 我们暂时可以通过重新定义粒子的概念，粒子以自己的方式散开同时通过两个狭缝，这里散开就是粒子以波的方式通过了狭缝。或者遮住了其中一个狭缝会影响通过另一个狭缝的概率分布，粒子通过狭缝时有干涉效应，单个粒子具有波动的特征。实验上，我们可以通过光和电子的相互作用来探测电子通过了狭缝1还是狭缝2。若我们的光敏探测器在狭缝1探测到信号，我们就说电子通过了狭缝1，反对狭缝2也如此。但是实验上确实探测到了粒子通过了狭缝1和狭缝2，概率分布也符合我们的预期，叠加后的效果满足p（x）=p1（x）+p2（x）。

怎样协调上面的两个实验呢？一个解释办法就是测量影响了结果的分布。在探测电子的过程中，我们使用了光和电子的相互作用，改变了电子到达探测屏的分布结果。能否以一个弱的光来实现电子的探测而不改变电子的分布呢？设想我们的光源足够弱，光子一个个和电子相互作用，光以能量E=hv和电子相互作用。当光合电子散射后，电子获得动量p=？姿/h，这里？姿是由光子频率v决定的波长。一个个的光子和电子相互作用可能会遗漏部分电子的信息，这样我们得到的电子分布其实是图a的一部分。若想精确的探测通过狭缝的电子，我们就需要高频率的光子，这样光子对电子的影响就很大。若我们用低能量的光子，这样光子的波长就很长，在狭缝的空间范围内，我们不能区分通过狭缝1和狭缝2的电子。为了探测电子，任何实验设计都会影响电子的分布，这一规律在量子力学中概括为测不准原理。当一个物理过程有两种途径可以实现时，一旦采用了其中某种途径，就破坏了各种途径间的干涉效应。实验手段会影响量子系统本身的性质。

波粒二象性和测不准原理是量子力学本质的内容和含义，通过本文的讨论，量子力学的干涉效应也体现了量子效应的内涵，任何保持量子效应的理论都不能破坏量子干涉效应，费曼的路径积分就是抓住了不同路径间的干涉这一本质的概念可以正确表述微观系统规律。理论表明，在一些多体系统中，干涉效应也起着决定性的作用，如超导，阿哈罗诺夫-玻姆效应等，若一个现象是量子规律支配的结果，则必须考虑量子干涉效应。

参考文献：

[1]Feynman，PP Hibbs著，张邦固，韦秀清 译.量子力学与路径积分[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]瓦尔特·顾来纳著，王德民等译.量子力学导论.北京： 北京大学出版社， 2006.

作者簡介：

周江（1986-）男，汉族，贵州瓮安人，博士研究生， 贵州大学物理学院讲师， 研究方向：凝聚态物理。