一类积分时滞切换系统的指数稳定

刘玉忠, 薄 彤

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

切换系统是一类重要的混杂系统,一般由一族连续(离散)的子系统和一条逻辑规则组成[1]。该逻辑规则也被称为切换律,它决定了子系统间如何切换。切换系统作为混杂系统的重要组成部分,近年来在学术界得到广泛关注。在切换系统稳定性问题的处理上,通常用到的手段有:多Lyapunov函数方法、平均驻留时间方法以及切换Lyapunov函数方法等[2]。

时滞问题在很多实际领域中都广泛存在,比如电子工程、生物医学、网络控制系统等。时滞现象使系统的分析变得更加复杂,也是导致系统不稳定的主要因素[3]。因此,积分时滞系统作为一族特殊的时滞系统,近年来得到了广泛关注。文献[6]指出,积分时滞系统通常出现在:系统转化而来的附加动力系统的稳定性分析中,输入时滞系统,用于有限谱分配控制器的内部稳定性分析中;中立型泛函微分方程中差分算子的稳定性分析。以上都是积分时滞系统的重要实例。在积分时滞系统的指数稳定性研究中,构造Lyapunov-Krasovskii函数的方法已经得到[7],这类泛函对于解决鲁棒性估界和计算积分时滞系统指数稳定的指数估值等一类问题具有重要意义。

对于切换积分时滞系统而言,切换和时滞都是影响系统稳定的重要因素,二者耦合可能会引发更复杂的动力学行为。本文先通过构造Lyapunov-Krasovskii函数,在证明过程中,利用了Cauchy-Schwarz不等式以及Jensen不等式来处理积分项,以此进行有效的放缩。再利用平均驻留时间的方法处理在切换下积分时滞系统的指数稳定性问题。

1 问题描述

考虑下面一族积分时滞切换系统:

(1)

其中:x(t)∈Rn表示系统状态;h表示一个正常数;G(θ)矩阵有定义在θ∈[-h,0]上的分段连续可微元素;切换信号σ(t):[0,+∞)→M={1,2,3,…,m},其中m是正整数,表示子系统的个数;初始向量函数φ(θ),θ∈[-h,0);·表示向量的欧几里得范数和矩阵的诱导范数;AT表示A的转置;I表示单位矩阵;P>0表示P矩阵正定;λmax(R),λmin(R)分别表示矩阵R的最大特征值和最小特征值。下面介绍本文用到的引理及定义。

引理1[7]如果存在一个由0([-h,0),Rn)→R的泛函v,使得t→v(xt(φ))在R+上可微,并满足如下条件:

引理2[7](Cauchy-Schwarz不等式)

引理3[9](Jensen不等式)

定义1[5](指数稳定)如果存在μ>0,α>0使得系统任意的解都满足不等式

x(t,φ)≤μφhe-αt,t≥0

则该系统是指数稳定的。

定义2[2](平均驻留时间)

2 主要结果

2.1 单时滞切换系统的指数稳定

定理1 如果存在矩阵Pi>0,Qi>0使得

(2)

证明 构造Lyapunov-Krasovskii函数为

当t∈[tk,tk+1)时,系统(1)切换到第i个子系统,此时σ(t)=i,则有v(φ)沿着系统(1)轨迹的导数为

根据引理2,可以得到

因此

(3)

其中

由式(3)可得

当t∈[tk,tk+1)时,

v(xt)=vσ(t)(xt)≤e-2α(t-tk)vσ(tk)(xtk)

再根据式(2),可以得到

根据a,b以及v(xt)的定义,

axt2≤v(xt),vσ(t0)(xt0)≤bxt02

所以有

因此,系统(1)是指数稳定的。

2.2 多时滞积分切换系统的指数稳定

考虑下面一族多时滞切换系统

(4)

其中,0

定理2 如果存在矩阵Pi>0,Qil>0,l=1,2,…,n,使得

其中

(5)

证明 构造Lyapunov-Krasovskii函数为

当t∈[tk,tk+1)时,系统(4)切换到第i个子系统,此时σ(t)=i,则有v(φ)沿着系统(4)的轨迹导数为

根据引理3,可以得到

因此

(6)

其中

则当t∈[tk,tk+1)时,

v(xt)=vσ(t)(xt)≤e-2α(t-tk)vσ(tk)(xtk),

再根据式(5),可以得到

根据a,b以及v(xt)的定义,

axt2≤v(xt),vσ(t0)(xt0)≤bxt02,

所以有

因此,系统(4)是指数稳定的。

3 结 论

本文主要对一族积分时滞切换系统的指数稳定性问题进行研究。首先,利用构建Lyapunov-Krasovskii函数的方法,利用Cauchy-Schwarz不等式以及Jenson不等式处理了沿着系统轨迹的Lyapunov-Krasovskii函数的导数,得到其紧上界,实现了不等式的有效放缩。然后,再采用平均驻留时间的方法,对任意切换时间下系统的指数稳定性问题进行处理。最后,将积分时滞切换系统中的单时滞指数稳定问题推广到多时滞指数稳定问题,使该方面的问题研究更具一般性。