球的问题的分类解决策略

郭新忠

高考中经常出现与球有关的考题，这类题大都有一定难度，它涉及球的表面积、体积、截面、外接、内切等问题。要想解决好球的问题，必须明确问题的类型，做到心中有数，有针对性地灵活解决问题。

一、与球相切的问题

解决球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面这一性质，并且切点到球心的距离等于球的半径。

例1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（ ）

A. π B. C. D. π

解析：选C。平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆.因为正方体的棱长为1，所以AC=CD1=AD1= ，所以内切圆的半径r= ×tan30°= ，所以S=πr2=π× = π。

例2.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，PA=PD= ，侧面PAD⊥底面ABCD，在四棱锥内放一个球，要使球的体积最大，则球的半径为________。

解析：四棱锥P-ABCD内放一个球，要使球的体积最大，则球为四棱锥的内切球。

如图，分别取AD，BC的中点M，N，连接PM，PN，MN。

因为侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= ， 所以PM⊥AD，所以PM⊥底面ABCD.又AD=AB=4，所以MN=4，PM= =3，根据题意球O与四棱锥各面相切，平面PMN即为四棱锥与内切球的轴截面，在Rt△PMN中，PN= =5，设E，F，G为切点，球O的半径为r，则S△PMN= ×3×4= （3+4+5）r，所以r=1，即所求。答案：1。

二、球的内接问题

把一个多面体的几个顶点放在球面上或把一个旋转体的顶点及底面放在球面上的问题，即为球的内接问题。解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径或旋转体的轴截面是平面图形且为规则几何体，该几何体的各顶点到球心的距离必等于球的半径。

例3.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________。

解析：如图，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2 ，所以AC=4。在Rt△AOO1中，R2=（4-R）2+22，所以R= ，所以球的表面积S=4πR2=25π。答案：25π。

例4.已知边长为2 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________。

解析：如图1，取BD的中点E，连接AE，CE。由已知條件可知，平面ACE⊥平面BCD。易知外接球球心在平面ACE内，如图2，在CE上取点G，使CG=2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OA=OC，易知O即为球心。分别解△OCG，△EGO可得R=OC= ，∴外接球的表面积为28π。答案：28π。

三、球面上的点与球的关系问题

一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.解决这类问题的关键是抓住小圆上的点到球心的距离等于半径及公式d= （d为小圆圆心到球心的距离，R是球的半径，r是小圆的半径）。

例5.设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心。球O的表面积为100π，且△ABC是边长为4 的正三角形，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）。

A.12 B.12 C.24 D.36

解析：选B。∵球O的表面积为100π=4πr2，∴球O的半径为5.如图，取△ABC的中心H，连接OH，连接并延长AH交BC于点M，则AM= =6，AH= AM=4，∴OH= = =3，∴三棱锥O-ABC的体积为V= × ×（4 ）2×3=12 .

总之，球的问题经常遇到，主要求球的半径、表面积、体积及球内切或外接几何体的面积、体积、棱长和夹角问题。要想速解球的问题，必先抓住问题的实质，再数形结合进行转化，解决问题的思路往往是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这也是解决立体几何中球的问题的主要出发点。

？誗编辑 杜元元