有关广义欧拉函数的两个方程的解

张四保

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844008)

论文将讨论方程

φ3(n)=2ω(n)

(1)

与方程

φ4(n)=2ω(n)

(2)

的整数解.

1 相关引理

引理1[7]若

是正整数n的标准式，(pi,3)=1，1≤i≤t，则

引理2[7-8]若

是正整数n的标准式，(pi,2)=1，1≤i≤t，则

2 定理及其证明

定理1方程(1)只有n=7，21这2个正整数解.

φ(n)=2ω(n)[3-(-1)Ω(n)2-α-1].

(3)

(i)α=0.由(3)式，有φ(n)=2ω(n)[3-(-1)Ω(n)2-1]，即φ(n)=2ω(n)-1[6-(-1)Ω(n)]，有

(4)

在(4)式中，Ω(n)或者为奇数或者为偶数.当Ω(n)为奇数时，(4)式为

(5)

当Ω(n)为偶数时，(4)式为

(6)

显然在(5),(6)式中，左端一定有2ω(n)这一因数，而右端有2ω(n)-1这一可能因数，这说明了(5),(6)式不可能成立，因而此时方程(1)无解.

(ii) 当α=1.由(3)式，有φ(n)=2ω(n)[3-(-1)Ω(n)2-2]，即

(7)

(8)

同样，在(8)式中，左端一定有2ω(n)这一因数，而右端有2ω(n)-2这一可能因数，这说明了(8)式不可能成立，因而此时方程(1)无解.

情形2其他.由引理1，由(1)式有φ(n)=2ω(n)×3，即

(9)

定理2方程(2)只有n= 9，11，34，40，102这5个正整数解.

φ(n)=2ω(n)[4-(-1)Ω(n)2-α].

(10)

(i)α=0.由(10)式，有φ(n)=2ω(n)[4-(-1)Ω(n)]，即

(11)

(11)式或者为

(12)

(12)式中Ω(n)为偶数，从而有解t=1，α1=2，因而方程(2)有解n=32=9.(11)式或者为

(13)

(13)式有解t=1，α1=1，p1=11，从而n=11为方程(2)的解.

(14)

(14)式或者为

(15)

(15)式中Ω(n)为偶数，方程(2)无解.(14)式或者为

(16)

(16)式中Ω(n)为奇数，方程(2)无解.

情形2其他.由引理2，由(2)式有φ(n)=2ω(n)+2.

(i)α=0.有

(17)

由于(17)式无解，从而方程(2)无解.

(ii)α=1.有

(18)

(18)式有解t=1，α1=1，p1=17与t=2，α1=α2=1，p1=3，p2=17，从而方程(2)有解n=2×17=34，n=2×3×17=102.

(iii)α=2.有

(19)

由于(19)式无解，从而方程(2)无解.

(iv)α=3.有

(20)

由于(20)式有解t=1，α1=1，p1=5，从而方程(2)有解n=23×5=40.

(v)α≥4.有

(21)

由于(21)式右端为偶数，右端为奇数，因而(21)式不成立，从而方程(2)无解.

综合以上，定理2证毕.