初中数学之数形结合的运用

杜光容

【摘要】初中是学习数学的重要阶段，对学生逻辑思维能力和解题思路的要求很高。建立数学思想方法是学好数学的关键，也是解题的关键。数形结合是一种普遍的数学思想方法，对于提高学生的数学逻辑思维能力具有重要意义。

【关键词】数形结合;初中数学;解题思路

数学作为一门研究数量关系和空間图像的重要学科，是将社会规律和自然规律结合的一种有效工具和语言。数形结合利用了数量与图形之间特有的关系，将数量与图形相互转换，将抽象和模糊的问题变得具体和实际，是一种简化问题的数学思想方法。

一、数形结合的意义作用

（一）引导问题解答

在解题过程中运用数形结合思想，可以将解题过程形象简单地展现在学生的面前，并且可以给学生展现层次分明的逻辑脉络，使得学生能从抽象思维转向形象思维，同时削弱由于数学问题的抽象性而导致的复杂与困难程度。

（二）激发学习兴趣

数形结合在数学解题中的优势非常突出，在教学实践中，充分利用数形结合可以收到很好的教育传导效果。教师在教学过程中通过这一手段，顺势引导，将会提高学生的关注度，可以帮助学生尽快地找到简化问题、解决问题的思路和方法，缩短解题过程，同时还能培养学生的自主创新能力和开拓精神，提高学生学习的兴趣和热情。

（三）增强数学记忆

图形语言相对于数学语言更形象直观，基于图形语言的记忆速度快、印象深。笛卡尔曾经说过：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑子了。”因此，在教学实践中，图形语言被广泛应用，这也是基于图形是“形象”的，语言是“抽象”的。现在的初中数学课本各册、章、节，包括练习题都配以图形，插图紧紧围绕本章、本例、本题的主要知识和方法而展现。在教育教学中，我们应充分利用这些插图，结合实际例子，为学生讲解知识要点。

二、初中数学内容本就蕴含数形结合思想

通俗而言，数形结合就是代数与几何相结合，这在初中数学中无处不见。

（一）有理数中蕴含数形结合思想

有理数的加法法则、乘法法则都是通过数字结合图形总结归纳出来的，每一个有理数都可以在数轴上找到相对应的点，因此，比较两个有理数的大小，实际上是通过这两个有理数在数轴上对应点的位置来进行比较的。又比如绝对值、相反数是通过数轴上的点到原点的距离来表述的。

（二）不等式蕴含数形结合思想

在“一元一次不等式和一元一次不等式组”的教学中，由于学生对于不等式组理解不深刻，通常把不等式解集代入到数轴中帮助学生理解，使学生直观地理解“不等式有无数个解”这一概念。

（三）函数蕴含数形结合思想

许多学生对函数的概念不清楚，并且对函数这一知识点的理解十分模糊，因此，教师通常把一次函数表达式y=kx+b代入直角坐标系中理解。事实上，把函数放到直角坐标系中，绝大部分函数题能够得到解决，而且学生对于数学的理解会变得更加深刻。

（四）应用题蕴含数形结合思想

在解答初中数学的行程问题、工程问题、统计问题的时候，都可以画出相应的示意图，来表示相互之间的关系，直观、形象，而且一目了然。

三、妙用数形结合，让初中数学解题思路更清晰

（一）以数解形，进行精确分析

在初中数学中，图形直观是“形”的一大优点，可是“形”也有不逮之处，有时候直接观察简单的图形却看不出规律，这时候就需要用代数来分析计算。例1：求直线y=2x一2与抛物线y=x²+3x-2的交点坐标。通过分析本题，可以在直角坐标系中大概画出该直线与抛物线的图像，并发现它们的交点，却无法准确求出交点的坐标，图形简洁直观，却并不精确。这时，我们便可以借助“数”，交点的坐标同时满足直线和抛物线，我们便可以把交点的横坐标和纵坐标当作直线和抛物线方程组的解，这就是以数解形。

（二）以形助数，思路变得直观

从例题1中，我们可以体会到当“数”与形相结合时效果惊人，“形”具有直观、形象的特点，并且能将复杂的思维简便地表达出来，将枯燥无味的数学理论用图形表达出来，使枯燥的数学理论变得更具有趣味性，也让学生做题时的思路变得十分直观。当我们遇到非常复杂的题目而束手无策时，便可以将形的问题合理地转化为数的问题，把图形的位置关系具体地转化为数量关系，再对所得数量关系进行分析和计算。例2：解不等式x-1≥-x²+2x+1。分析：在面对二次函数不等式时，初中学生常常感到困惑，为此我们可以用图像法来解决此类问题。令y1=x-1，y2=x²+2x+1，然后在同一坐标系中画出函数y1和y2的图像，函数y1在y2图像上方对应的范围就是此不等式的解集，因此解此不等式需要先求出函数y1和y2的交点（2，1），（-1，-2），然后观察图像，得出结论：x≥2或x≤-1。

（三）数形变换，思维更加清晰

无论以数解形还是以形助数，都充分地向我们展示了数形结合的优势，其实我们在解决实际问题时，许多数学问题普遍能运用到数形结合。当然，我们要做到的不仅仅是以数解形或是以形助数，而是需要灵活地转换二者，学会灵活变通，理解题意，才可以有效地运用数形结合，将数学问题化难为易，找到便捷有效的解题方法。数形贯穿了初中数学的两条主线，也就是数量和图形，数形结合不仅帮助学生提高学习效率，还提高了学生学习数学的兴趣。不论是从数到形，还是从形到数，无一不需要学生具备代数运算、图形转换的基础和习惯。妙用数形结合解题，能让抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，拓宽思维范畴，使解题思路更清晰。