串一条美丽的项链 让主题复习增值
——以《直柱体的体积和侧面积》为例

2019-08-05 06:56江苏省常州市金坛区段玉裁实验小学
数学大世界 2019年18期
关键词:柱体金鱼圆柱

江苏省常州市金坛区段玉裁实验小学 张 扬

复习课不是旧知识的简单再现和机械重复,而应把它看成是启发学生在原有基础上的一种较高层次的学习过程。有效的复习课,复习内容与形式不能仅仅局限于对旧知识的回顾与串讲,也不该沉迷于试题的机械训练之中,而应通过旧知识的复习,以旧引新,化难为易;以舍求得,化腐为奇;以点带面,化少为多,让学生有新的发现、新的理解和新的体会。数学知识犹如一粒粒散落的珍珠,如果不会整理,只是一盘散沙,没有太大的价值,只有串成美丽的项链,才会价值连城。

一、创设“纵向数学化”思维活动的起点

课始,提出问题:截止到目前,我们小学阶段已经研究过哪些立体图形?(随学生的口答贴出:长方体、正方体、圆柱、圆锥)

收集并展示交流课前整理的作业单:

学生通过自主交流,分享自己的整理以及对体积公式的理解。

随后教师相机提出:外形不一样的长方体、正方体和圆柱都可以用V=Sh,它们之间究竟有什么共同的特征呢?请看——先播放孩子们上交数学补充习题的视频,如果把一本本补充习题想象成一个个平面图形——长方形,随着孩子们不断向上叠加,就会形成立体图形——长方体,再课件演示从长方形(正方形或圆)逐渐向上平移增厚变成长方体(正方体或圆柱)的过程。

拓展直柱体的认知范畴,追问:你发现了什么?

生1:它们上下底一样,中间一样粗细。

生2:长方体是由长方形向上平移形成的,正方体是由正方形向上平移形成的,圆柱是由圆向上平移形成的。

教师相机指出:数学上,通常把这样的立体图形叫作“直柱体”。现在,大家明白这三种立体图形有什么共同特征了。继续追问:除了由长方形、正方形、圆平移形成这三种直柱体之外,你认为直柱体还可以长什么样子?

学生不断围绕直柱体的特征展开想象:由平行四边形、梯形、三角形……平移都可以得到直柱体,随着孩子的想象与口答,课件继续呈现直柱体,再次追问:它们都是直柱体吗?

生:是的,它们都是由平面图形平移得到的立体图形。

建模直柱体体积计算公式,教师提出:那如何求它们的体积?有什么统一的方法呢?

生1:V=Sh,因为它们都是直柱体。

生2:它们都可以变形转化成长方体,因此,都可以用V=Sh。

小结:是呀,只要用上“转化”的策略,就能统一所有直柱体的体积计算公式V=Sh。(相机播放直柱体体积推导的微视频)

二、在序列化交流中深化直柱体体积计算模型

变式练习一:制造这根钢管,要用多少钢材?

图1

图2

反馈时绝大多数学生选择了图2的方法,也有少数的同学选择了图1的方法。

课堂中,通过对比,沟通两种方法之间的联系,学生再次惊奇地发现直柱体体积通用公式的合理性。这样计算比用“大圆柱体积-小圆柱体积”的算法简洁、好算。通过复习,学生感悟到以前看似孤立的各个体积计算公式之间有着密切的联系。从复习旧知识衍生出新知识,从“零碎”的知识之中发现内在的联系,学习由零碎变系统,由厚变薄的过程。

变式练习二:你知道金鱼的体积是多少吗?

(1)把一条金鱼完全浸没在一个底面直径是20厘米,水深12厘米的圆柱形容器中,水没有溢出,且量得水面上升了 2 厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米?

把另一条金鱼也完全浸没在一个长为20厘米,宽为12厘米,高为15厘米的长方体容器中,水没有溢出,且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米?

教学中,通过问题引领:你知道金鱼的体积是多少吗?对比发现无论是用圆柱体的容器,还是长方体的容器,都是通过“等积变形”把金鱼的体积转化为上升水柱(实为圆柱体或长方体形状的直柱体)的体积。在交流对比的过程中,学生深刻理解了直柱体体积公式的本质,虽然底面的形状变了,形成的立体图形的形状也变了,但是直柱体都是平面图形向上平移形成的立体图形,因此直柱体的体积都可以用V=Sh。

引发思考:为什么计算圆锥体积不能用V=Sh?

学生通过几何直观对比,辨析发现了圆锥不是直柱体,从而实现数学思维活动走向深层次的思考。

三、在知识迁移中统一直柱体侧面积计算方法

谈话:我们刚刚研究了直柱体的体积,都是底面积乘高。我们是怎么研究的?(整理发现——引发猜想——推理验证——得到结论)你觉得接下来我们会研究什么?(表面积)

自主交流立体图形的表面积整理单,提出问题:直柱体的体积都可以用V=Sh,那直柱体的表面积里又有什么变与不变的呢?你有什么发现?

学生面露难色,教师相机引导:瞧!这是我们经常遇到的练习,有什么相同之处?

(1)一个长方体饼干盒,长19厘米、宽11厘米、高20厘米。如果在它的侧面贴一圈包装纸,包装纸的面积至少有多少平方厘米?

(2)一个圆柱体饼干盒,底面半径10厘米,高20厘米。如果在它的侧面贴一圈包装纸,包装纸的面积至少有多少平方厘米?

学生通过交流发现(1)要求的是长方体四周的面积(少数孩子提出其实就是求长方体的侧面积),(2)要求的是圆柱的侧面积。列式对比,通过乘法分配律转化发现——长方体四周的面积也可以用底面周长×高来计算。

回顾整理,动眼观察,沟通联系:S直柱体的侧面积=Ch。

引导:我们在整理的时候发现侧面展开图将曲面转化为平面图形——长方形,从而找到了长方体、正方体、圆柱这些特殊的直柱体侧面积计算的方法都是底面周长乘高,那其他的直柱体的侧面积呢?这只是我们的猜想(打上问号),还需要验证,你打算怎样验证?先想一想,再与你的同桌交流。(大多数孩子想到了沿直柱体的高剪开,都可以将直柱体的侧面化曲为直,长方形的长就是直柱体的底面周长,长方形的宽就是直柱体的高,从而进行验证)

随着孩子们的动脑思考、动口说理,教师提出要求:平面图形通过向上平移得到立体图形,就像这一张张纸不断叠加,就得到一个长方体,其实这张纸还可以干嘛呢?

追问:你知道里面还藏着什么吗?想不想知道?我们来动手做一做,出示一张长方形纸。

提出要求:你打算围一个什么样的直柱体?想一想,围一围,说一说。

汇报交流:通过围你发现了什么?

让学生利用手中的A4纸进行移一移、围一围等操作,让他们观察会发生怎样的变化,从而发现数学中的圆柱、长方体、正方体等直柱体体积和侧面积的变与不变,在知识建构的过程中沟通联系,形成知识脉络,经历知识变厚、变薄的全过程。

复习课设计数学化主题活动,从“同一知识领域”内容的关联性出发,发展后续需要的数学核心能力,挖掘知识领域内容的“留白处”,激发后续探究的乐趣,让数学主题活动经验的“根”长得更深。

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