高屋建瓴应悟道 柳暗花明又一解
——以2018年浙江卷17题为例

2019-08-05 06:56广东省广州市从化区第四中学
数学大世界 2019年18期
关键词:化简椭圆直线

广东省广州市从化区第四中学 黄 强

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养的本质反映了数学思维品质,其关键是能从数学的角度思考问题。 发散性思维又称辐射思维,是根据已有的信息,从不同的角度思考,寻求多样性答案的思维活动。在解决问题中表现了根据已知条件,能从不同的角度进行思考,探究多种不同的解决办法的思维活动,其具有思考角度多变、解决方法灵活的特点,是思维灵活性的表现。在解题活动中,教师常用典例多解的教学形式来培养学生的发散性思维。笔者认为引导学生不囿于一个角度或一种思路去探究解法,关键是不但要渗透数学思想,更要揭示数学思想在思考过程中的运用,从而使学生认识到思考角度的多变源于数学思想,解决方法的灵活生于数学思想。 因此,为了培养学生的发散性思维能力,通过典例多解和数学思想的揭示,这不仅促进学生知识网络的形成,而且更重要的是促使学生对数学思想的感悟,提高解题能力和发散思维能力,提升数学思维品质。本文以2018年浙江高考的一道试题为例,以期抛砖引玉。

例题:(2018年浙江卷17题)已知点P(0,1),椭圆上两点A,B满足则当m=_________时,点B横坐标的绝对值最大。

一、运用方程思想探解

运用方程思想,就是通过分析问题中已知与未知的等量关系,建立方程(组),运用方程的性质分析转化问题,从而使问题得到解决的思维过程。相应方程思想下的常见方法有点差法、韦达定理、判别式等等。揭示方程思想在解题中的运用,使学生认识到解法并非无中生有,其根源在于数学思想给我们提供一个思考角度。

因为A,B点在椭圆上,所以两式相减有代入椭圆方程并化简得:m>1,易知当m=5时的最大值为4,即

评析:本解法运用方程思想作为思考角度。为了探求等量关系,先“固定m”, 再通过平面共线向量抓住关键点B,这样处理不但减少了变量数对思维的影响,更重要的是突出了关键的未知量,即减少是为了突出。由两个动点A,B在椭圆上这个几何特征建立方程尤为重要,其数学思想是由形转数,从而建立了点B的坐标与m的等量关系,然后把坐标的最值转化为二次函数最值问题。整个解决过程清晰明快,一气呵成!

运用直线的参数方程,也是解析几何常用的方法,其思维的关键包括:一是理解参数方程既表示直线方程,同时也表示点,是两者更抽象的形式;二是理解参数在问题中的几何意义。用参数方程表示点,其作用相当于减少变量数,同样,利用点在椭圆这个几何特征上建立方程,利用参数的几何意义和方程性质解决问题。

解法二:设直线AB的参数方程为其中t为参数,θ为直线AB的倾斜角。因为直线AB与椭圆相交,把直线AB的参数方程代入椭圆方程,得由韦达定理可知

二、运用函数思想探解

客观世界的事物是运动变化的,事物间既有联系,也有制约,这种关系在数学中以函数来刻画。运用函数思想探求问题的解决,其思维过程是通过挖掘变量间的关系构造函数,利用函数的性质解决问题。考虑到A,P,B三点共线,点P为定点,当直线AB绕点P旋转时,点B的坐标也随之变化,既然是动点,就需要知道按照什么规律运动,因此,挖掘点B的横坐标与直线AB斜率之间的函数关系为思考提供一个角度。

解法三:设直线AB的方程为y=kx+1,因为直线AB与椭圆相交两点,故联立方程并消元得由韦达定理可知:

由椭圆对称性,不妨设xb>0,由得xa=-2xb,代入(1)式,得由基本不等式得当且仅当xb取最大值2,此时由(2)式可知m=5。

评析:本解法综合运用数形结合、方程思想和函数思想,其思维过程通过形转数建立方程,利用方程性质挖掘函数关系,最后利用函数性质解决问题,但也看到如消去k,而不是消去m,虽然可以解决问题,但运算量陡增,学生就陷入复杂的运算中,因而抓牢函数思想,优化思考过程,从而解决问题。

三、运用变换思想探解

在人教版选修1-1的35页(或选修2-1的41页)中,设置了一个探究椭圆与圆之间关系的思考问题。通过探究,在伸缩变换下,有下列结论(在此证略):(1)直线依然变换为直线;(2)椭圆变换为圆,圆变换为椭圆;(3)线段比不变;(4)直线与椭圆的交点对应直线与圆的交点。 把直线与椭圆的位置关系转换为直线与圆的位置关系。这是从变换几何思想的角度思考解法,其思维过程是把椭圆类比圆,把直线与椭圆问题转换为直线与圆的问题,利用圆的性质解决问题,这又为寻求新的解法提供了一个思考角度。

图1

设∠XO'B'=θ,点B'(x'b,y'b),由余弦定理,得:化简得:

因为A'P'=2P'B',并由相交弦定理C'P'·D'P'=P'B'·A'P',得把(2)代入(1)并消去P'B'2,得即代入椭圆方程并化简,得易知当m=5时的最大值为4,即|xb|=2。

评析:本解法是通过对教材中的问题进行探究所获得的解法,因此重视教材中的探究问题,不但能培养学生的探究能力,往往还能获得新颖别致的解法,有利于拓宽学生思考角度,培养创新意识。

四、 运用特殊与一般探解

现实世界中,事物的特殊性中存在普遍性,个性中存在着共性,这在数学中就表现为特殊与一般的辩证关系,是重要的数学思想。其思维过程是以问题为起点,抛开其特殊性,探究更具一般形式的性质或规律,从而找到思考的角度,这对提升学生数学能力有积极的意义。在本题中,对于椭圆E1中的△ABO,有什么性质?能否对探究解法提供不同的思考角度?通过探究点P关于点A的对称点B的轨迹,如图2所示,我们有下面结论:

性质1:设椭圆曲线E1的方程为定点P(0,p)关于E1上的动点A的对称点B的轨迹为椭圆E2,椭圆方程为

略证:设点B(x,y),因为点A(xa,ya)为线段PB的中点,所以有点A在E1上,代入E1的方程并化简,易得

图2

而且通过探究,我们又发现以下性质:

证明:设直线AB的方程为y=kx+p,A(xA,yA),B(xB,yB),直线AB的方程与椭圆方程联立、消元并化简,得:

如图3所示,通过探究△ABO的AB边中点G的轨迹,有以下性质:

图3

证明:设直线AB的方程为y=kx+p,A(xA,yA),B(xB,yB),G(x,y)。联立直线AB方程与椭圆方程消元并化简,得(b2+a2k2)由韦达定理得x=两边平方并化简,得

从性质3可以获得下面推论:

利用性质1,我们可以得到下面解法:

图4

利用性质2,我们又可以得到下面解法:

解法六:设A(xa,ya),B(xb,yb),由可知xa=-2xb,ya=-2yb+3。

直线AB,BO,AO的斜率分别为kAB、kOA和kOB,由性质2可知,即把xa=-2xb,ya=-2yb+3代入并化简,得代入椭圆方程并化简,得易知当m=5时的最大值为4,即|xb|=2。

数学学习离不开解题活动,在解题活动中,通过探究典例多解,可以培养学生发散思维,这是共识。如何培养学生找到解决问题的更多的思考角度,其关键在于揭示数学思想在解题中的运用,使学生对数学思想和方法有更深的感受。 如通过突出已知和未知,抓住几何特征建立方程,并运用方程的性质解决问题;如通过挖掘变量间的函数关系构造函数,并运用函数性质解决问题等等,但同时也要看到以下几点:(1)数学思想方法不但为解题找到思考角度,也自始至终贯穿整个解决过程;(2)在解题过程中往往由单一数学思想运用为开端,但思维过程又是多种思想方法的共同运用;(3)数学思想方法应该要揭示,因为数学思想是内隐,通过揭示其运用和提炼,使学生加深对数学思想的领悟,没有这一点,多解就变成一个技巧,不会真正内化学生的思维中。总之,跳出单纯的题海训练,鼓励独立思考,产生想法,大胆探索新思路,这不仅有助于学生进一步巩固、深化和拓展所学的知识,而且对提高自主学习能力和培育创新意识,提升科学探索素养,具有积极的促进作用。

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