基于eFAST方法的车—线—桥耦合系统全局敏感性分析

辛莉峰，李小珍，朱 艳

(西南交通大学 土木工程学院, 四川 成都 610031)

通讯作者：朱 艳(1979—)，女，湖南湘潭人，博士，讲师。E-mail:zhuyan@swjtu.edu.cn

列车—轨道—桥梁耦合系统拥有非常复杂的随机振动特性，从概率角度来讲，由于自然演化与人为建造等原因，在常规计算模型中所涉及的激振源和设计参数均存在一定的不确定性。对于铁路工作者或者桥梁设计人员，掌握耦合系统的响应状态，确定计算参数的改变对响应特性的影响程度，才能更好地调整铁路线路状态或设计方案以满足高速铁路运营的高舒适度要求。因此，分析参数变化对于列车—轨道—桥梁耦合系统所带来的影响是一项非常重要的工作。

近年来，随着计算机技术的发展及车桥耦合建模方法的完善，众多学者开始逐步研究参数变化对车桥耦合系统的动力学影响。研究方法大致可以分为2类，一类为探索某单一参数变化所导致模型输出的改变情况，如文献[1—3]等，另一类为同时考虑多变量的随机性，探究模型输出均值、均方差、极值等统计值的变化情况，如文献[4—8]等。前述文献中对于车桥耦合参数敏感性的分析研究较少，且大多采用局部敏感性分析方法，即在仅改变某一参数，而保持其余参数不变的条件下，考察模型输出的变化情况。局部敏感性分析方法的优势很明显，简单且直观，然而其缺陷亦很清楚，如：仅能考察参数设计值基线附近的情况，难以涵盖参数的概率统计特性；不能考虑多个参数同时变化时的相关性影响，也无法定量分析各参数对输出结果的敏感性等。全局敏感性分析可较好地克服这些不足，可考虑参数的实际概率分布，且允许所有参数同时变化，并定量化地度量不同参数及多参数之间的相互作用对目标量的影响，方法上更具有有效性和优越性，而目前车桥耦合系统的全局敏感性分析研究尚未见报道。

本文基于车辆—轨道—桥梁耦合动力学，建立车—线—桥耦合计算模型，引入轨道不平顺功率谱密度的概率分布模型，应用推广的傅里叶幅度敏感性检验方法(eFSAT)，考虑参数间的耦合作用，研究桥梁上部结构部分结构参数和不同类型的轨道不平顺激励对车—线—桥耦合系统动力响应的影响。

1 车—线—桥耦合计算模型

车辆—有砟轨道—桥梁计算模型可分解为车辆、有砟轨道和桥梁3个子模型。

车辆模型为具有两系悬挂系统的铁路4轴车辆模型，转向架和轮对间通过一系悬挂连接，车体和转向架间通过二系悬挂连接。整个车辆模型可视为通过弹簧—阻尼元件连接起来的多刚体系统，由车体、构架及轮对共7个刚体组成，每个刚体考虑浮沉、横摆、侧滚、摇头、点头共5个自由度，忽略纵向自由度，则每节车共有35个自由度。车辆的质量、刚度和阻尼矩阵的推导参见文献[1]。本文的计算车辆为8节CRH3型高速列车，车辆编组为(动+拖+动+拖+拖+动+拖+动)，车速为300 km·h-1。

有砟轨道模型包括钢轨、扣件、轨垫板、轨枕和道床等，将其简化为3层离散点支承模型，其中钢轨视为离散弹性点支承基础上的有限长Euler梁，弹性支承点的间距即为轨枕中心距，考虑其垂向、横向和扭转自由度。道床按轨枕的实际间距离散成质量块，考虑它的垂向振动，如图1所示。图中：Kpv和Cpv分别为轨下胶垫刚度和阻尼；Kbv和Cbv分别为道砟支撑刚度和阻尼，其计算采用力传递服从棱锥体分布的假定；此外，采用剪切刚度Kw和阻尼Cw代表道砟间的连续咬合作用；Kfv和Cfv分别为路基或桥面的支撑刚度和阻尼。详细的有砟轨道模拟方法参见文献[9]。有砟轨道模型参数见表1。

图1 有砟轨道模型立面图

桥梁模型采用有限单元法建立，下文以5跨32 m高速铁路简支梁桥(墩高为15 m)作为算例，如图2所示。梁部为C50混凝土制成的统一箱梁，桥墩则采用C35混凝土。梁和墩均采用梁单元进行模拟，墩、梁连接处按主从自由度处理，墩底按刚性固结处理，即不考虑地基与桥梁基础动力相互作用的影响。

表1 有砟轨道模型参数

图2 5跨32 m铁路简支梁桥有限元计算模型

车辆模型和轨道模型之间通过非线性轮轨接触关系建立联系[10]，桥梁模型和轨道模型之前通过线桥几何接触关系建立联系，各个子模型的运动方程如式(1)所示。

(1)

为了求解该复杂动力分析模型，本文应用显—隐式混合积分法，即：车辆和轨道子模型采用显式积分方法Zhai方法求解，桥梁模型采用隐式积分方法Wilson-θ方法求解。另外，为保证列车上桥时的计算稳定性，在桥梁两端分别设置了150 m的列车—有砟轨道—路基模型以达到预平衡。

2 全局敏感性分析理论

20世纪80年代，全局敏感性分析理论作为一个独立的发展方向被提出，主要考察当输入变量在各自的整体定义域范围内波动时，输出变量会有怎样的表现形式。基于此目标，许多学者研究了多种方法度量输入变量和输出变量之间的关系，如，多元线性回归法、Morris法、傅里叶幅度敏感性检验法(FAST)、推广的FAST方法(eFAST)[11]等。正如前文所述，列车—轨道—桥梁耦合系统非常复杂，输入与输出之间存在非线性、非单调性、非可加性，常规的方法，如多元线性回归方法，并不适用。本文采用非常经典的eFAST方法进行车—线—桥耦合系统的敏感性分析，该方法与模型形式无关，其敏感性可以通过变量的方差来度量。

将感兴趣的输出变量记为y，输入变量记为x，x=(x1,x2, …,xn)，其中各个xi之间相互独立，则y和x之间的关系可以表示为：y=f(x1(ρ),x2(ρ), …,xn(ρ))。eFAST方法中，设定多维空间搜索曲线为

(2)

式中：wi为一系列的频率点；φi为随机相位角，满足[0,2π)范围的均匀分布；ρ为一标量，范围为-∞<ρ<∞。

可以看出，当ρ在整个实数域上变动时，xi会同时在各自的定义域内变动，通过适当的选取频率点wi，可以使xi之间的变动具有独立性，本文中wi采用Schaibly和Shuler所建议的数值。通过一维变量ρ的轨道变动，可以刻画出原本的多元函数在整个定义域区间的轨迹。为简便起见，将y=f(x1(ρ),x2(ρ), …,xn(ρ))写成f(ρ)，利用傅里叶级数的性质，y的方差Var(y)可以定量表示为

(3)

将f(ρ)展开为傅里叶级数的形式

(4)

其中，

式中：Aj和Bj为傅里叶系数。

通过式(3)定义的方差，可计算出2个敏感性指标：一阶敏感度Si和总体敏感度STi，分别表示为

(5)

(6)

式中：Vari(y)和Var-i(y)分别为第i个参数和第i个参数以外的条件方差估计。

从式(5)可以看出，Si表征的是第i个参数独立作用对模型输出的影响，而STi表示第i个参数对输出变量总的贡献，其中不仅包含第i个参数独自作用的贡献，还包含了第i个参数与其他参数的交互作用对输出变量的贡献。若Si与STi非常接近，则说明参数间的交互作用不明显，反之，则说明参数间的交互作用具有不可忽视的影响。

3 轨道不平顺功率谱密度概率分布模型

在常规的确定性计算模型中，往往采用功率谱密度等效法获得轨道不平顺随机序列，并以此作为车桥耦合系统的随机激励源。但是常使用的轨道不平顺功率谱模型，如美国轨道谱等，仅反映了某线路轨道不平顺的幅值—频率的统计平均状态，不足以涵盖轨道不平顺的遍历特征。实际情况下，轨道不平顺功率谱密度(PSD)的频谱范围较宽，且呈现出一定的概率特性，如图3所示。

图3 实测高速铁路有砟轨道的高低不平顺功率谱

本文采用文献[13]提出的轨道不平顺功率谱密度概率分布模型，该模型能全面表征轨道不平顺激励的时空遍历特征，按照以下几个步骤建立该模型：

(1)通过区段划分，将不平顺实测数据表达为空间向量集

XΩ(l)={XI1,k(l),XI2,k(l),XI3,k(l),XI4,k(l)}

k=1, 2, …,N;l=L/N

(7)

式中：Ω为轨道不平顺的随机域；L为所有检测数据的区段长度；l为每个样本区段长度；N为样本总数；k表示样本编号；I1，I2，I3和I4分别为4种轨道不平顺类型，即高低、方向、水平及轨距不平顺。

(2)对实测不平顺数据进行时频分析，得到轨道不平顺功率谱密度的实测值，并将实测值进行统计分析，得到轨道不平顺功率谱密度关于频率ω和累计概率τ的联合概率密度Γ(ψI(τ，ω))。

(3)任意轨道不平顺功率谱密度的概率p(ψI(τj))可表示为

(8)

(4)将4种不平顺类型作为相互独立的随机变量，根据轨道不平顺功率谱密度的概率分布特性，模拟得到不同类型的轨道不平顺功率谱密度的代表值。

(5)由上一步获得的功率谱密度的代表值，运用时频变换方法即可反演出不同类型的轨道不平顺的空间序列。

以长度约100 km的某高速铁路有砟轨道区段的高低不平顺实测值为研究对象，每500 m划分为1个区段，式(6)中l=500，N=200。根据步骤(2)和步骤(3)得到图4有砟轨道高低不平顺功率谱密度的概率密度分布(PDF)和累计分布函数(CDF)的实测值。根据式(8)和步骤(4)、步骤(5)可以得到图4所示的有砟轨道高低不平顺功率谱密度的PDF和CDF的模拟值。从图4可以看出模拟值与实测值吻合较好，验证了轨道不平顺功率谱密度的概率分布模型的可行性，因此，该轨道不平顺功率谱密度的概率分布模型可被应用于车桥耦合系统的计算。

4 车桥耦合系统全局敏感性分析

4.1 输入参数的确定

选取混凝土箱梁的密度ρc和弹性模量Ec、截面绕Z轴抗弯惯性矩Iz和截面绕Y轴抗弯惯性矩Iy为计算输入参数，其分布特征、均值和变异系数见表2，桥梁结构其他的结构参数均按设计值选定。

表2 箱梁结构参数及其分布特征

将4种轨道不平顺激励I1，I2，I3，I4和桥梁结构参数ρc，Ec，Iz和Iy作为车桥系统全局敏感性分析的检验变量，用向量C=(C1C2…C8)表示。

4.2 车辆动力响应敏感性

统计的车辆加速度的敏感度对于时间的平均值见表3。由表3可以看出，轨道方向不平顺是影响车辆横向加速度的关键参数，其平均1阶敏感度达到70%，轨道水平不平顺对车辆横向加速度有一定影响，其平均1阶敏感度达到18%。车辆竖向加速度的变化则主要由轨道高低不平顺决定，其平均1阶敏感度和平均总体敏感度分别占到了73%和74%，混凝土弹性模量的作用次之，分别到了12%和13%。另外，从数值上来看，平均1阶敏感度和平均总体敏感度的差别很小，最多只有1%，所以参数之间的交互作用对车辆加速度的影响较小，可以忽略。

表3 车辆加速度敏感性分析结果

4.3 桥梁动力响应敏感性

按照同样的方法，分析桥梁跨中横向、竖向加速度和横向、竖向位移的平均1阶敏感度和平均总体敏感度，如图5所示。由图5可以看出：混凝土箱梁的弹性模量、混凝土箱梁的密度和轨道方向不平顺的平均敏感度对桥梁跨中横向加速度的影响位居前3；对于桥梁跨中竖向加速度，混凝土箱梁的弹性模量影响最大，轨道高低不平顺也具有不可忽视的作用；对于桥梁跨中横向位移，混凝土箱梁的弹性模量、混凝土箱梁的密度和轨道方向不平顺的平均敏感度位居前3；对于桥梁跨中竖向位移，主要受混凝土箱梁的弹性模量影响。此外，从图中也可以看出，平均1阶敏感度与平均总体敏感度也存在较大的区别，说明不同因素之间的交叉作用对桥梁结构动力响应的影响不容忽视，因此，全局敏感性的分析是非常必要的。

图5 桥梁跨中不同动力指标的平均敏感性分析结果

4.4 轮轨力敏感性

轮轨力是车辆、轨道、桥梁动力响应的激励来源之一，属于系统的内激励，反映轮轨的接触情况，把握影响其变化的关键因素对于高速铁路的安全运行非常重要。列车运行于桥梁上的横、竖向轮轨力的平均总体敏感度STi见表4。由表4可以看出，轮轨力主要受轨道不平顺影响，桥梁上部结构参数的变化对其影响可以忽略。其中，方向不平顺是横向轮轨力的关键参数，其次是轨距不平顺，第3为水平不平顺。高低不平顺是竖向轮轨力的关键参数，其次为水平不平顺。需要注意的是，水平不平顺所起到的作用较常规认识要大许多，常规2D车桥耦合计算模型对于轮轨力的预测可能会有一定的偏差，应当引起注意。

表4 轮轨力平均总体敏感度分析结果

5 结 论

(1)轨道不平顺功率谱密度的概率分布模型能全面反映轨道不平顺随机过程的时空遍历性，可被应用于车桥耦合系统的计算。

(2)轨道方向不平顺是影响车辆横向加速度和横向轮轨力的关键性参数，轨道高低不平顺是影响车辆竖向加速度和竖向轮轨力的关键性参数，桥梁上部结构的弹性模量是影响其动力响应的关键性参数。

(3)各个参数之间的相互作用会导致桥梁结构动力响应输出的变化，采用全局敏感性分析参数敏感性的方法较局部敏感性分析方法更为合理。