An型非退化仿射Hecke代数的Grbner-Shirshov基∗

木娜依木·迪里夏提，阿布都卡的·吾甫

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046)

0 前言

1 预备知识

设X是一个非空集合，其元素我们称为字母，X∗是由X中字母生成的词构成的自由幺半群，其中单位元是空词1.设K是一个域，我们用KhXi表示由X生成的自由结合K−代数,那么X∗是KhXi的一组K−线性基.对任意词w∈X∗,我们用|w|表示其长度，也就是w所包含的字母个数.词w的长度我们有时候也记作deg(w).为了确定任意非零多项式f∈KhXi的首项，我们在集合X上选取一个良序<，此序在幺半群X∗上诱导出一个序，我们仍用<来表示此序.如果序<与幺半群X∗的乘法运算相容，即对任意u,v,w∈X∗，有u

设<是X∗上的单项式序，对于任意两个首一多项式f和g，我们定义他们的合成如下：

(1)若存在w∈X∗，使得，其中a,b∈X∗，且那么称(f,g)w=fb−ag为f和g相对于w的相交合成.

我们把相交合成和包含合成统称为合成.

设<是X∗上的一个单项式序，S⊆KhXi是首一多项式的非空集合，Id(S)是代数KhXi的由S生成的双边理想.如果集合S上所有多项式的合成都是对模S平凡，那么我们称S是理想Id(S)在代数KhXi中的一个Grbner-Shirshov 基.

引理 1(钻石合成引理)设S⊆KhXi是首一多项式的一个非空集合，<是X∗上的一个单项式序.下面三个命题等价：

(3)Irr(S)={u∈X∗|u6=ab,s∈S,a,b∈X∗}是商代数A=KhX|Si=KhXi/Id(S)的一组K-线性基.

2 An型非退化仿射Hecke代数的Grbner-Shirshov基

在这一节里我们给出An型非退化仿射Hecke代数的Grbner-Shirshov基.首先给出An型非退化仿射Hecke代数的定义(见文献[8]).

我们用X∗表示由X生成的自由幺半群.对任何u∈X∗,定义u的次数（或者长度）为u所包含的X中元素个数,记为deg(u).这时可通过X上的良序>在X∗上诱导一个如下的次数字典序（deg-lex order）：对任意u,v∈X∗,定义或者deg(u)=deg(v)且u按字典序大于v.

An型非退化仿射Hecke代数Hn(q)是由X生成的，并且满足以下关系的有单位元的结合代数:

我们令S={f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f10}，其中

这时我们有

下面我们计算集合S的元素间合成.

1.合成(f1,f2)w，其中w=因此有

2.合成(f1,f9)w，其中w=T2iXiTi,1≤i≤n−1.因此有

我们把此新关系记为f19，即

从f19可得到关系：

3.合成(f9,f1)w，其中w=TiXk,1≤i≤n−1.因此有

我们把此新关系记为f91，即

同样，从f91可得关系：

我们分两种情况讨论：

①如果k=i+2，则

通过同样计算，我们知道S中元素之间其他所有合成都对模S平凡.

令

显然，这四个新关系之间没有合成.因此下面我们要计算这四个新关系和S的元素之间的合成.

5.合成(f1,f19)w，其中w=T2iXi+1,1≤i≤n−1，因此有

再次，通过同样计算可知其他所有合成对模Sc平凡.

定理1集合Sc是An型非退化仿射Hecke代数Hn(q)的一个Grbner-Shirshov基.

下面我们用引理1和定理1给出An型非退化仿射Hecke代数Hn(q)的一组K−线性基.

由关系f1,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f10,f19,,f91,可知Hn(q)中任意单项式可以写成如下形式：

再由定理1和引理1可得

推论1是An型非退化仿射Hecke代数Hn(q)的一组线性基.