要重视数学教学的整体性设计*

江苏省苏州实验中学 (215011)

丁益民

现行教材大都按照知识的公理化体系自下而上进行编写，学生在这样的体系中习得的是一个个点状知识，尽管学习的难度下降，却很难明白所学知识点在整个单元、整个章节甚至整个知识体系中的地位与作用，容易形成“只见树木不见森林”的学习境况，进而导致信息表征困难，学习迁移能力较低，难以将所学知识灵活运用到问题解决中去.史宁中教授认为：核心素养的落实首先要改变的是教学设计的思路，不能再像传统的数学教学那样，按照一节课或一个知识点进行教学设计了，而应当把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体教学.这种整体性的教学方式侧重于教学目标的全面性以及教学过程的系统性，使学生的学习过程是逻辑连贯的认知整体，增强了学生构建学科体系的整体性，有利于把握数学的本质.

1.整体性设计的内涵

上一轮课改经验告诉我们，应根据教学目标合理组织教学内容，既要关注知识前后的逻辑性，重视对数学概念本质的理解，又要重视课堂中对学生进行有效的思维训练和数学学习的指导.教师只有提高对教材整体分析和解读的水平，才能使数学知识的学术形态真正转化为学生容易接受的教育形态，进而实现教学价值的最优化.整体性设计是课程开发中的一种思维方式，在教学活动中从教学目标的上位出发，将教学活动的每一个环节都融于教学活动的大系统中，改变以往那种片面地突出某一教学点的设计模式.整体性设计是从更高的视角来分析教材以及设计教学流程，突出单元的教学目标，努力体现教学过程的整体性，从而减少那些毫无价值的重复性教学活动，根本上解决存在于教学方式与课时时限之间的矛盾.

鉴于此，整体性设计框架如下：

2.整体性设计的要素分析

2.1 教学内容的整体分析

研读教学内容时，既要清楚教学内容的上位知识又要明白它与后续知识的逻辑关联,需要将它置于整个教学单元的逻辑主线中进行考察.如在“数列”第1课时，首先要认识到数列是以“数”为研究对象的特殊函数，在“数列”的整个教学体系中应始终以函数的视角来审视数列的变化属性，比如数列中的项是如何变化的(项与下标的函数关系)？数列的项与项之间有怎样的关系(递推关系)？数列的项与和(和与项)间有什么关系？等等.函数视角是数列教学时一条认知的逻辑主线，通过数列的学习加强对离散型函数的认识，加深数列本质的理解.同时，这一课时为后面进一步学习“等差数列”、“等比数列”等具体的数列模型提供了认知建构上的引导以及思维方式上的指引，是后续学习的先行组织者.

2.2 教学目标的整体定位

在确定课时教学目标时，每一课时的目标应是单元教学目标下的具体体现，是能实现单元教学目标的有力载体.以“等差数列”第1课时为例，数列研究的对象是数，必然与运算相关，因此，构建合适的运算规则来研究数列的运算是整个单元的主要教学目标之一.具体到等差数列，通过“累加”的运算规则得到它的通项公式，不仅如此，这样的运算规则还适用于解决形如“an-an-1=f(n)”的递推关系求通项问题.所以，教学中应以学生是否掌握运算规则作为数列学习的达成指标，而且要突出以探索运算规则为逻辑的主线，教学中的所有活动都要围绕此进行教学组织与实施.

2.3 学情分析的整体考量

在设计时要充分考虑学生认知结构形成的系统性，一个概念在教学中所产生的教学成果(包括显性的知识达成，隐性的思维方式和学习方法等)，在之后的教学中将得以延续与利用，是后续教学的思维指引和行为示范.以“集合”第1课时为例，集合是学生进入高中后最先接触到的教学内容，这对学生的认知会产生先入为主的主观趋向，在该课时教学中应让学生获得这样的认知链：什么是集合？→集合具有什么性质？→如何运用集合的概念及性质解决相关问题？这样的认知流程实际上是进行一般性认知的基本方式，即任何新概念的获得都要经历这样的认知过程：对象→属性(特征)→运用.而在今后学习中，将不断地以此认知过程开展学习活动与思维活动.另外，在具体实施中，学生所经历“观察—归纳—抽象概括—建构”的思维过程，又是完整且规范的示范与指引，同样在后续学习中会经常使用到这样的思维范式，为形成科学规范的认知方式提供可能.

2.4 教学建构的前后一致

在某些逻辑相似、前后关联较大的概念教学时，应保持建构方式的一致性.以“函数的性质”为例，学生在学习这部分知识时普遍感觉抽象难懂，这与教学时建构方式不一致有一定的关系.实际上，函数的单调性、最值、奇偶性、周期性等性质在建构的过程上、语言表述风格上以及思想方法和数学观念上均保持着前后一致性，具体体现为：

建构方式都遵循以下操作流程：生活中的某种现象——数学中的这一现象——就已学过的特殊函数为例进行研究——由特殊到一般进行“坐标关系”到“函数性质”的表征——抽象概括出相关概念；

语言风格的一致体现在：“任意的……都有……”.不仅如此，在建构过程中的语言呈现也具有一致性，都可由图形语言逐步抽象为形式化的符号语言，再由符号语言转译成自然语言；

思想方法和数学观念一致性体现在：所有性质的建构意图是通过概念的形成，让学生能用合适的数学语言正确表征函数的性质，基本要求是会用简洁的符号语言来抽象函数的性质，也能通过符号语言解读函数的性质，较高的要求是能借用研究这些性质的思维过程和解读方式来指导和思考新的性质的学习.为此，在设计时所有的教学行为应是在相似表征活动下的同构过程，这能确保组织方式的前后一致性.

3.整体性设计在实施中的一些建议

3.1 创设具有单元导向性的问题情境

实际教学中，部分学生在学习过程中杂乱无章，知识建构不成系统，导致学习内容易混易忘.究其原因，学生在开始阶段就没有形成整章内容的学习范式，没有用系统的眼光去进行学习，使得学习的内容零散孤立，学习效果自然不佳.因此，在章节起始课或概念起始课的情境设置中，应设计合适的情境来蕴涵整章的认知框架(主线)，进而引导学生按照认知框架的基本线路去进行学习.

案例1 苏教版必修5“不等关系”情境创设

在一开始选择情境素材时就应考虑情境素材的先行组织作用，通过三幅图让学生经历“感受不等”，“思考不等”，“应用不等”的直观感受，让学生初步建立起在本章学习时应有的认知经验：抽象出模型——研究模型——应用模型，这正是学习所有“不等模型”的通用历程.上述情境设置中蕴含着研究问题与数学学习的基本方向，即从实际情境中抽象出数学模型，通过思考和研究模型，进而应用模型的研究过程.创设的情境目标指向于整章学习方向的引导，是整章学习过程的缩影，为学生勾勒出整章认知对象的基本轮廓，使他们在学习具体的不等模型时更具有目标性和方向性.

3.2 选择适合目标立意的教学组织方式

对同一教学内容而言，选择不同的组织方式，学生所获得的目标立意将有所不同.适宜的目标立意才能促进学生有意义的数学学习，换言之，过低的目标立意不能促进学生的认知发展，过高的目标立意不能引发学生的认知共鸣.因此，应根据预期所要达到的目标立意，通过适当的教学组织以保证整章教学定位基于学生的最近发展区和可能的目标区.

案例2苏教版必修5第1章“正弦定理”的教学组织比较

组织方式1：在初中，我们着重从几何的角度来研究三角形的边角关系，随着我们不断学习新知识，还可从哪些角度来研究三角形的边角关系呢？

方式1的预期目标立意是研究三角形的基本视角.由此目标指引下的数学活动是基于如何研究几何问题，可以从多个方向展开：通过回顾初中三角函数的定义，将一般的三角形转化为直角三角形来研究“正弦定理”；由于向量是一种既有形的特征又有数的意义的数学工具，因此可用“向量”来研究“正弦定理”；若学习了必修2“平面解析几何”还可以用坐标法来研究几何问题，可通过用坐标法来研究“正弦定理”；等等.不仅如此，在接下去教学“余弦定理”时也可以从这些视角进行研究，更一般地，在研究平面几何问题时，同样可以从这些视角去研究.

组织范式2：三角形有3个角3条边，至少给定这6个元素中的几个可以确定一个三角形？

至少给定三个元素：

能“确定”三角形的这些条件的理论依据是什么？

方式2的预期目标立意：探寻能“确定”三角形的理论依据，发展学生的理性思维.由此带来的数学活动：将上述条件先分类，以其中一组进行研究(如两角+一角邻边)，形成可操作的思维方式，再用类似的思维过程指导其他条件的研究.

不难看出，教学组织方式是由整章的目标立意引领，不同的教学组织实现的目标立意是不同的，但是学生在不同建构方式下的数学活动是在同一建构系统中进行的，这就增强了知识建构的整体性，增强了知识理解的逻辑深度.

3.3 实施逻辑连贯的教学过程

数学知识不是“孤立散点”，而是作为逻辑连贯的“体系存在”，虽然学习的对象不同，但研究对象的方法是连贯的，主线是清晰的.以“椭圆”的学习为例，其认知的经验基础是：圆的定义—圆的方程—圆的性质探究—圆与其他图像的关系研究.基本思想是运用代数的方法研究几何问题，这是学生已经经历的学习过程，通过提炼、凝聚，为学生拟定了椭圆学习的活动导图：椭圆的定义—椭圆的方程—椭圆的性质探究—椭圆与其他图形的关系研究.从而，迁移形成研究一般曲线的活动导图，思想方法的一致性与研究方式的整体性贯穿始终.

整体设计呈现给我们的是一种全新的教学“科学化”图景，其设计理念、设计方法与传统教学设计不同，它追求知识的整体性、学习的整体性和教学的整体性，其目的就是促进学生把知识、技能、态度协调整合起来，真正促使数学核心素养的养成，进而实现教育的育人功能.