套路，又见套路——对一道调研题的一点思考

江苏省海门中学 (226100)

顾旭东

一、原题展现

(1)当a=3时，求函数f(x)的极值；

(2)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x)，若函数y=f(x)-g(x)是(0，+∞)上的单调增函数，求x0的值；

(3)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由．

解：(1)(2)略.

(3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，不妨0

从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．

熟悉的套路不由得让我们把目光转移到一个月前的南通一模试卷.

下面证明x1x2>a2.

二、回顾探源

不难发现这些题的背后都隐藏着如下的结论：

三、反馈训练

1.(2014年天津卷理压轴题)已知函数f(x)=x-aex(a为常数)有两个零点x1,x2，求证：x1+x2>2.

3.(2017届苏州高三一模压轴第20题)已知函数f(x)=(lnx-k-1)x,若x1≠x2,且f(x1)=f(x2)，求证：x1·x2

6.(2010年天津高考题)已知函数f(x)=xe-x(x∈R).如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明：x1+x2>2.

四、反思提升