2019年全国卷Ⅰ不等式选考试题的探究

福建省福清第三中学 (350315)

何 灯

2019年全国高考数学试卷整体设计上继续保持平稳，但稳中有变，主观题的题序均做了动态调整，考查考生灵活应变能力和主动调整适应能力.其中“今年的高考数学有多难”、“维纳斯有多高”、“高考数学全国卷考了朵云”等话题引起网友广泛热议.

每年高考都会涌现出一些好题，值得我们探究学习.本文拟对全国卷Ⅰ不等式选考试题进行探究，建立原试题加强的双边不等式.

试题已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明：

定理已知a,b,c为正数，且满足abc=1，则有(∑表示轮换对称求和)：

证明：式(1)左端不等式等价于∑a3bc-2∑ab+2∑a2bc-3abc≥0，注意到abc=1，则∑a3bc=∑a2，2∑a2bc=2∑a≥∑a+

式(1)右端不等式等价于∑a3bc+2∑ab-6∑a2bc+9abc≥0，注意到abc=1，则只需证明∑a2+2∑ab-6∑a+9≥0，等价于证明(a+b+c-3)2≥0，此为显然.

式(2)左端不等式等价于∑a2b+∑ab2+2abc-8≥0，由基本不等式得∑a2b≥3abc，∑ab2≥3abc，则∑a2b+∑ab2+2abc-8≥8abc-8=0，从而式(2)左端成立.

式(2)右端不等式等价于∑a3-∑a2b-∑ab2+8-5abc≥0，由于abc=1，则∑a3-∑a2b-∑ab2+8-5abc=∑a3-∑a2b-∑ab2+3abc=∑a(a-b)(a-c)，∑a(a-b)(a-c)≥0，即三次Schur不等式，从而式(2)右端成立.定理得证.