圆锥曲线离心率与相交直线斜率关系的探究

山东省聊城大学数学科学学院 (252000)

王晓卿

圆锥曲线问题是高考的必考内容，本文以2018年新课标全国卷Ⅲ(理数)的第20题为例，深入探究圆锥曲线的离心率与相交直线斜率的关系问题.

一、初步探究

对第(1)问，笔者给出两种证法.

证法1：(联立方程组，利用韦达定理求证)

整理可得(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0.

证法2：(将点的坐标代入方程，化简求证)

设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，将A,B两点坐标代入椭圆方程，得

二、深入探究

将上述发现推广到一般情况，可得到如下定理.

图1

图2

三、探究应用

下面以2015年新课标全国卷Ⅱ(理数)第11题为例，进一步说明以上定理在解决有关圆锥曲线的离心率与相交直线斜率的题目中的应用.灵活运用以上结论，可以简化做题步骤，提高做题速度.

例题已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在曲线E上，ΔABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ).

图3