整体呈现，对比解决

◇马灵和

遇到“一条长4 米的绳子，平均截成3 段，每段长多少米？每段长是全长的几分之几”这样的题目，学生的错误率一下子提高了，是非常正常的现象。这道题通过把连续量（一条绳子的长度）进行等分，从用分数表示具体的数量和表示部分与整体的关系两个层面来提出不同的问题，学生解答起来是有难度的。

要解决这个问题，我们不妨把这道题放到一组题中来，由一道题向一类题拓展，借助一组题来解决一道题中存在的问题。

我们可以把原题稍作变动：一条长（ ）米的绳子，平均截成3 段，每段长多少米？每段长是全长的几分之几？

这里绳子的总长度是开放的，让学生先补充完整条件再解答问题。这样，一道题就变成了一组题，可以借助表格结构化呈现出来：

绳子总米数截成的段数 3 3 3 3 3每段的米数每段是全长的几分之几

在学生自主解答的基础上，教师提问：你是怎样求每段长多少米的？又是怎样求每段长是全长的几分之几的？观察上面的表格，你有什么发现……通过这些问题来进行方法的提炼和对比，学生很容易总结出计算方法：求每段的米数，用总米数÷段数；求每段长是全长的几分之几，可以用绳子的总长度不同，求每段长度的具体算式就不同，但求每段长是全长的几分之几是一样的。

学生通过观察表格可以发现：绳子的总长度不一样，每段的长度也不一样，但每一组中总长度都是每段长度的3 倍，每段长都是全长的求每段的米数需要用到表格中的前两组数据，而求每段是全长的几分之几，既不受绳子总长度的影响，也不受每段长度的影响,仅和截成的段数相关。

我们还可以对原题再作变动，来强化这种认知：一条长12 米的绳子，平均截成（ ）段，每段长多少米？每段长是全长的几分之几？

这里截成的段数是开放的，学生可以自主确定截成几段来进行解答。我们同样可以通过表格（表格略）来整体呈现。

学生自主解答后，我们再让学生观察这个表格，谈谈自己的发现。显然，不管是求每段的长度，还是求每段长是全长的几分之几，学生在列式计算时，截成的段数都是作为除数存在的。不同之处在于：从求每段的长度到求每段长是全长的几分之几，在这两个不同的问题中，截成的段数经历着从具体数量到对应份数的转化。

把这类相关问题以题组的形式整体呈现，是为了让学生能够更加直观便捷地发现具体数量和部分与整体关系的区别，促使学生从具体数量和份数关系两个层面来认识分数。在淡化具体数量中，发现部分与整体的关系；在变与不变中，体会部分和整体的关系。