高中数学基本不等式解题技巧研究①

何丽梅

摘 要：新课改的快速推进与持续深入，高考试题呈现出的灵活性不断提高，对学生数学学习提出更为严格的标准。高考试卷对基本不等式的考点始终是学习的关键内容，同样成为学习阶段交易产生错误的环节，其解题方法较为灵活，学习掌握存在一定的难度，基于此，教师与学生务必加以高度重视，对不等式解题技巧做出深入分析研究，提高不等式解题正确率。

关键词：高中数学;基本不等式;解题技巧

前言：数学作为学生各个学习阶段非常关键的基础学科之一，存在相应的规律性以及逻辑性。基本不等式作为高中数学教育教学阶段的关键内容，在高考数学考试中占有相应的比例。高中生数学学习阶段，如果对基本不等式解题技巧、方法与思路的学习与掌握存在不足，致使在解题过程中出现困难问题，使得解题速度无法有效提高。基于此，高中数学学教育教学阶段，对基本不等式的学习，教师务必教授学生学习并掌握科学正确的解题技巧、方法与思路，从而提高基本不等式的教学效果。

一、反证法解不等式技巧

针对反证法来讲，实质主要为部分不等的正式，正面证明相对较难，因此可通过反向思考问题的角度进行证明，即若对不等式A>B做出证明，可假设A≤B，通过题设与不同性质，推断获得矛盾，以此得出A>B。若是需要证明不等式属于否定命题或以及唯一命题或是存在特定的词语情况下，可运用反证法做出合理正确解答。运用反证法对不等式做出正确合理的证明阶段，务必需对命题结论相反的情况全部导出矛盾。针对几何与不等式问题方面的解题，反证法的应用较为普遍[1]。

比如，已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0。解：假设a、b、c并非全部为正数，其中之上存在一个为非正数。假设a≤0，则分别对a=0以及a<0做出证明讨论。若a=0的情况，则abc=0，同条件发生矛盾，因此该假设不成立。若a<0，通过abc>0能够求得bc<0。同时由于a+b+c>0，因此得知b+c>-a>0，得知ab+bc+ac=a（b+c）+bc<0，同条件发生矛盾，所以，a<0不成立。通过上述证明得知，a>0，同理能够求得b>0，c>0同样成立，因此命题结论成立。针对此种类型题目来讲，解题时从正面对做出证明存在一定的解题难度，通过采用反证法运用反向思想做出解答，可以使解题的难度明显降低，解题速度明显提高，并确保解题正确率。

二、绝对值不等式解题技巧

绝对值不等式作为不等式考查的重点内容，是存在一定难度的题型。对其作出解答时，针对不等式存在的式子，运用同解原理将式子转变成不等式组。通常来讲，不等式组一般有一次或二次不等式构成。针对超过两个绝对值构成的不等式，可分别假设绝对值式子等于零的情况，分别求出未知数值，然后将不等式内等于零的情况下求得的未知数值在数轴做出准确标注，并对数轴内等于零的点做出画线，最终准确写出相同的区域，以此做出正确解答[2]。

比如，A：|y-1|<5，B：（y+3）（y+b）<0，如果A是B的充分不必要条件，求解b的具体取值范围？正确的解题过程为：通过|y-1|<5，可知-46，故a<-6。

三、换元法解不等式技巧

针对换元法来讲，实质主要为在对基本不等式做出解答阶段，对相对复杂或反复出现的式子，通过數学符号或变量的方法将其做出有效替换，并带入替换到原式，可以使原始得到有效的简化，使题目复杂程度降低，便于做出解答。换元法通常存在三角代换法以及增量换元法。针对三角代换法来讲，通常在不等式证明的应用较多，题目条件相对较为复杂的情况下，单个变量无法通过其他变量做出有效替换表示，则可以运用三角代换，对两个变量全部使用相同参数做出表示。该种方法若运用合理，能够使三角同代数之间做出紧密联系，使复杂代数问题通过三角问题进行求解证明;针对增量换元法来讲，对称式与未知数顺序已知的不等式，可运用增强法作出换元，主要是运用换元实现减元的下过，将问题变得简单化。三角换元中，因为已知条件存在约束，对引入角产生相应的约束，务必加以关注与重视。不然可能引起错误的解题证明。这也成为换元法使用过程中关注的知识点，同时需重视整体思想的科学应用。

结论：综上所述，高中数学教育教学阶段，基本不等式属于十分关键的学习内容，同样也是考试中较易丢分的关键考点。基于此，学生需从根本思想意识方面对基本不等式做出重新认识，并对不等式解题阶段问题的产生原因做出分析与总结，对基本不等式解题技巧、方法与思路做出学习与掌握，增强对基本不等式的学习与理解，提高解题速度，从而使学习成绩达到增加。

参考文献：

[1]徐勤政.高中数学基本不等式的学习技巧[J].数学学习与研究，2018（19）：131.

[2]李王梅.高中数学不等式解题技巧初探[J].中华少年，2018（17）.