广义逆威布尔分布参数的ML估计

王枞

摘要：逆威布爾分布是可靠性理论中常见的一种失效分布，可广泛应用于化学化工，电子电气，机械材料领域.对于逆威布尔分布的尺度参数和形状参数的极大似然估计是研究威布尔分布模型问题的重要方法.由于考虑到普通迭代估计过程的不稳定性，本文利用修正牛顿迭代法给出了完全样本情况下广义逆威布尔分布多个参数的极大似然估计，然后通过随机模拟来验证估计的合理性.

关键词：广义逆威布尔分布;极大似然估计;牛顿迭代法

中图分类号：O212.1  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）02-0005-03

早在20世纪30年代，费舍（R.A.Fisher，1860- 1960）在渐进分布的研究中，发现了极值分布中的逆威布尔分布.这一重要的函数分布在军工、医学、物理等领域应用广泛.越来越多的学者对它的研究产生了极大的兴趣.Keller and Kamath（1982）[1]在基本的逆威布尔分布的模型下考虑了其密度函数和失效率函数的形状.Drapella（1993）[2]Mudholkar and Kollial（1994）[3]和Jiang et.al.（1999）[4]正式地给出了逆威布尔分布的累积分布函数.

如果随机变量T的累积分布函数具有如下的形式：

变量T就服从逆威布尔分布.而逆威布尔分布是广义逆威布尔分布的一个特例.Gusm？觔o and Ortega （2011）[5]首次提出了广义逆威布尔分布的概念，并且在文中介绍了广义逆威布尔分布很多优良的性质和特点.根据上述文献的研究内容，我们不妨假设变量T服从广义逆威布尔分布，它的累积分布函数F（t）可以视为函数G（t）以非负参数？酌为指数的幂，则广义逆威布尔分布的概率密度函数与分布函数分别为

本文主要研究广义逆威布尔分布三参数的极大似然估计以及参数估计有效性的随机模拟.

1 广义逆威布尔分布的参数极大似然估计

1.1 极大似然估计

1.2 修正极大似然估计

2 随机模拟

在本节中，我们利用matlab对广义逆威布尔分布的参数估计进行随机模拟，参数真值的选取会对估计结果产生影响.我们选取两组不同的参数真值（2.0879，2.1535，2.9411）和（3.1632，1.5935，3.2733），并且在两组中分别产生10，20，40，60，100，140，200样本量的随机变量x的样本，然后利用matlab对3个参数？琢，？茁，？酌进行修正极大似然估计的模拟，重复迭代2000次，取平均值作为参数的估计值，得到模拟结果见表1和表2.其中令误差范数

我们可以看出无论是第1组还是第2组，随着样本量的不断增大，参数的估计值会越接近真实值，当样本量为200时，迭代估计的模拟效果达到最佳.由于第1组的参数估计值与真值的误差明显大于第2组.所以选取合适的真值也有利于控制模拟的误差.

3 总结

广义逆威布尔分布的参数估计在可靠性理论中有非常重要的作用.本文介绍了参数的修正极大似然估计，并且验证了随机模拟下迭代估计的可行性.本文还有其他的问题没有考虑，例如：如何利用林德利近似方法给出参数的贝叶斯估计.这是我们后续应该进一步探讨的问题.

参考文献：

〔1〕Keller AZ， Kamath AR. Reliability analysis of CNC machine tools. Reliab Eng ，1982，3：449–473.

〔2〕Drapella A， Complementary Weibull distribution： unknown or just forgotten. Qual Reliab Eng Int， 1993， 9：383–385.

〔3〕Mudholkar GS， Kollia GD Generalized Weibull family： a structural analysis. Commun Stat Ser A，1994， 23：1149–1171.

〔4〕Jiang R， Zuo MJ， Li HX Weibull and Weibull inverse mixture models allowing negative weights. Reliab Eng Syst Saf ，1999，66：227–234.

〔5〕Gusm？觔o， F. R. S. ， Ortega， E. M. M. & Cordeiro， G. M. The Generalized Inverse Weibull Distribution. Stat. Pap， 2011，52（3）： 591–619.

〔6〕韦博成.参数统计教程[M].北京：高等教育出版社，2006.