全等三角形判定与解三角形的联系

康洪昊

摘 要：本文研究全等三角形判定与解三角形的联系—两边一角判定三角形全等。得出结论：两边一角仅有SAS能判定三角形全等，如果是SSA（边边角）的话不一定能判定三角形全等，但是如果两个三角形满足SSA再加上以下三个条件之一：1、已经角为钝角;2、另外已知边的对角不互补;3、已知角的对应边的长度大于另一已知边是长度时;就可以判定这两个三角形全等。最后，本论文还以例题的方式说明了其应用性。

关键词：全等三角形判定;解三角形;边边角判定

1.引言

三角形的相关知识在中小学非常重要，在本论文中为了方便表述，一般把三个角分别为ABC的三角形写作△ABC，角用“∠”表示，采用角度制，其中角A的对边BC记为a，角B的对边AC记为b，角C的对边AB记为c。本论文主要研究三角形全等的判定和解三角形两个知识点的分析以及他们的联系。

三角形全等的判定和解三角形这两个知识点其实通俗易懂。初中学全等三角形的判定有SSS，SAS，ASA，AAS，HL;而高中学的已知三角形的三个元素，解三角形。

这里给一个特殊例子：已知△ABC，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，解△ABC？

这类题目也是知道三角形的三个元素，解三角形，但由于所给的元素有递推元素，就是三角形已知两个角可以求出剩下一个角，故实际只是给出两个元素，导致有无穷多组解！

本论文所说的关于解三角形所给的元素不包括以上情形的，都是可以解三角形的。

由人教版八年级上册数学书教材指出，全等三角形的判定方法有：（1）边边边（简写“SSS”）：已知两三角形三条边对应相等，则两个三角形全等。（2）边角边（简写“SAS”）：已知两三角形两条边对应相等且这两条边的夹角也相等，则两个三角形全等。（3）角边角（简写“ASA”）：已知两三角形两条角对应相等且他们的夹边也相等，则两个三角形全等。（4）角角边（简写“AAS”）：已知两三角形两条角对应相等且其中一个角的对边也相等，则两个三角形全等。（5）斜边、直角边（简写“HL”）：已知两个直角三角形的斜边与直角边对应相等，则两个三角形全等。[1]由人教版高中数学必修5教材可知，一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。解三角形过程中主要用到正弦定理和余弦定理。

2.全等三角形与解三角形的联系

上面5条三角形全等判定定理都说明了：要判定两个三角形全等，都至少要有他们的三个元素对应相等（第5条暗藏两三角形直角对应相等）。一般地，解三角形的例题和习题中，一定是给出的三角形已知元素是3个，解三角形的结果可能无解，也可能有唯一解，也可能有两个解。他们的共同点：都是给出的条件是三个元素，最后求整体！以下主要对三角形有解的情况下，解是否唯一进行研究和讨论。

2.1例题组分析

这五组例题都有共同的地方，每组例题第一小题已知的三个对应相等的元素与同组第二小题已知的三个元素完全对应，那么问题答案是不是一样呢？

通过解答，每组例题第一小题两个三角形都全等，第二小题解三角形中，前面两组都是可以通过余弦定理解出其他元素并且只有一种结果;第三、四组可以通过三角形的两个角求出第三个角再用正弦定理求出边的长度，结果也是只要一种;第五题通过正弦定理求出∠B的值，但因为∠A=90°所以∠B<90°排除一个解，结果还是只有一个解。

以我个人观点，如果给出的条件可以证明两个三角形全等，那么这些条件以具体数值确定后，三角形是固定的，所以在可以解除三角形的前提下得出三角形的解是唯一的。

2.2得出推理1

通过以上例子的结果可以得出一个推理，“在证明两个三角形全等时，如果给出的条件可以证明两三角形全等，那么这些对应条件给出合理数值后也可以得出三角形的解唯一。”（以下称推理1）

那么，推理1的逆命题是不是也成立呢？也就是说“如果在解三角形过程中，题目给出某些元素的合理数值后使得三角形有唯一解，那么这些元素对应相等的两个三角形全等。”（以下称推理2）成不成立？

解三角形知识是在高中数学必修5第一章出现的，我认真研究了那一章，发现一般的解三角形题目都是间接或者直接给3个元素解三角形。其实，如果只是已知2个元素的话，三角形是有无穷多组解的，故至少要已知3个元素，这3个元素有：三条边、两边一角，两角一边三种情况。

边：推理2如果已知的元素是三条边时，推理2明显成立！

两角一边：推理2如果已知的元素是两角一边时，推理2明显成立！

两边一角：推理2如果已知的元素是两边一角时，就不一定了，

角是两边的夹角：推理2明显成立！

角是其中一条已知边的对角：当遇到这种情况，解三角形结果就有两种可能的情况，有两个解或者有一个解，如高中数学人教版B版必修5第4页的例题[2]。

已知△ABC，根据以下条件，求相应的三角形中其他边和角的大小

所以，由于当知道三角形的两边一角，其中一个角是已知边的对角时，三角形并不一定只有唯一解，所以不能以此断定相应元素相等的两个三角形全等。

其实，初二教材已经有图例说明指出（图2.2.2），“边边角”定理会出现以下两种情况的三角形，是不能证明三角形全等的！

事实上，除了两边一角，如果在解三角形过程中，题目给出某些元素的合理数值后使得三角形有唯一解，那么这些元素对应相等的两个三角形全等。

2.3解三角形会出现两个解的原因分析

我们知道，三角形内角范围在0°到180°，而正弦函数y=sinx°在定义域区间（0，180）中是先增后降的，所以当给出函数值时，自变量在区间（0，180）会有两个对应值，所以如果两个都符合题意的话，就有两个解。

如果在解三角形过程中，题目给出某些元素的合理数值后使得三角形有两个解，那么这些元素对应相等的两个三角形就有两个，所以不全等。

3.“边边角”判定问题的深层研究

那是不是所有“边边角”对应相等的三角形都不全等呢？以下来研究几种特殊情况！

3.1已知角为钝角

上面例题我们看出了，当给一个已知角是钝角时，那么还是可以得出三角形有唯一解的，因为通过正弦定理可以得出另一个角，但是那个角一定不是钝角，所以排除了一种可能，所以就得出唯一的三角形。那么当要已知角是钝角时，“边边角”对应相等的三角形是不是全等呢？

3.4以上汇总

综上所述，当给出“边边角”解三角形时，用正弦定理解出的第一個角有两种情况，这两个角度是互补的，但是，如果给定条件的已知角是钝角，就可以排除一种情况，如果给定条件的两边有一定关系也可以排除一种可能的，以上情况都可以得到三角形的解是唯一的。

参考文献

[1]人教版八年级上册数学书教材.人民教育出版社，2014.6.

[2]人教版高中数学必修5教材.人民教育出版社，2007.4.