带电粒子在匀强磁场中运动的两类“放缩圆”问题

陈小庆

【摘要】高考中，“带电粒子在匀强磁场中的运动”往往是学生比较害怕的问题，其中有一类很常见的题目，很多资料上命名为“放缩圆”问题.本文总结了学生比较容易接受的标准解题步骤，并且把“放缩圆”问题细分成两类，在做题的时候要认真区分，否则很容易出错。

【关键词】带电粒子;匀强磁场中的运动;放缩圆

带电粒子在匀强磁场中的运动，这一节的知识在高考中既是重点，也是难点，对学生的物理和数学能力都有较高的要求，往往学生面对这一节的题目会产生畏惧心理。其中有一类比较常见的题目，很多资料上命名为“放缩圆”，或者“膨胀圆”问题。

一、什么是“放缩圆”问题？

我们先来看一个例题1：如图，宽度为d，足够长的带状区域内有垂直于直面向内的匀强磁场，带电量+q，质量m的粒子以垂直于左边界的速度进入磁场，磁感强度大小为B，不计粒子重力，则粒子速度大小满足什么条件时，能够从右边界穿出？

分析：粒子进磁场后，受到向上的洛伦兹力，若速度比较小，则圆周运动的半径也比较小，由于初速度与左边界垂直，所以粒子在磁场中划出一个半圆后，从左边界穿出。若初速度大一点，则圆周半径也大一点，于是可以画出一系列的圆弧，容易看出，当圆周半径大到一定程度时，粒子才能从右边界穿出。图中有一个半圆用加粗线表示，这是粒子从左边界穿出和从右边界穿出的一个临界值。这个临界圆的半径等于磁场两边界间距d，对应粒子速度大小为，所以当粒子速度大于这个值的时候，粒子就会从右边界穿出。

从这个例题可以总结出所谓“放缩圆”问题：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场保持不变，粒子速度方向不变而速度大小改变，导致粒子轨迹圆弧半径随之而改变。

二、“放缩圆”问题的特点

这类问题有着几个共同特点：

①由于粒子初速度方向不变，所有放缩圆的圆心都在同一条直线上，这条直线与初速度垂直。

②粒子运动的圆轨迹半径R=，所以半径与粒子初速度大小成正比，也就是说初速度越大，轨迹半径越大。

③粒子运动的周期T=，与粒子速度无关，所以粒子在磁场中运动的时间t只取决于轨迹对应的圆周角。

三、求解“放缩圆”问题的基本步骤

第一步，用左手定则画出粒子进磁场时所受洛伦兹力的方向，所有放缩圆的圆心都在该力的方向上，不至于搞错圆心位置，以及粒子偏转方向。第二步，画出一系列半径不同的圆.第三步，找出符合题目条件的临界圆。第四步，找几何关系，列出方程，求解。

例题2：如图，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ= 30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为+q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：粒子能从ab边上射出磁场的速度v0大小范围。

分析：先画出洛伦兹力方向，再画一系列圆，很容易确定出两个临界圆（左上图实线圆），分别与上边界和下边界相切.这些都是画在草稿纸上的，而只在试卷上留下两个临界圆（如由上图）。由几何关系列方程：600，600

得到，

结合得到两个临界速度大小为，

所以满足条件的粒子速度为。

四、放缩圆的时间

粒子在磁场中运动的时间t= T，其中θ指的是粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角，T是粒子做圆周运动的周期，由于放缩圆的周期都一样，所以粒子在磁场中运动的时间仅仅取决于圆心角。

再回到刚才的例题2，增加一个问题：如果粒子从不同边界飞出，则粒子在磁场中运动的时间分别在什么范围内？

粒子可能从左边界，上边界，或者下边界穿出。如果从左边界穿出，则圆心角都相同，都是300°，则时间是个定值：T;如果从上边界穿出，则圆心角介于150°到240°之间，则时间介于T到T之间;如果从下边界穿出，则圆心角小于60°，时间小于T。

五、另一类放缩圆问题

如果粒子速度v0不变，仅改变磁感强度的大小，这种情况造成的粒子圆半径变化称为第二类放缩圆问题.这种放缩圆问题有两个特点：

①轨迹圆半径R与磁感强度大小成反比，磁感强度变小时，轨迹圆随之而膨胀。

②由于磁感强度发生了变化，导致粒子圆周运动的周期也随之而改变，所以粒子在磁场中运动的时间不仅仅取决于圆心角，还取决于周期。

平时常见的放缩圆问题都是由于粒子初速度大小改变而引起的半径变化，也有少数时候磁场变化引起半径变化，一般学生都没有注意到两者是有区别的。这两类放缩圆问题如果只是涉及到粒子的轨迹，那么做题步骤没有什么区别，但如果涉及到粒子在磁场中运动的时间，就要非常小心了，因為磁场变化不仅仅导致圆半径变化，也会导致粒子周期改变。

其实做第二类放缩圆问题的时候，周期用另一个公式会更方便：T=，由于粒子的速度大小不变，所以粒子的周期正比于圆半径。另外，粒子在磁场中运动的时间t=，其中l是粒子在磁场中运动的轨迹弧长，用这样两个公式做第二类放缩圆的问题，更加直观和方便。

再回到刚才的例题2，假如题目改为粒子的速度大小v不变，而磁感强度大小发生变化而导致放缩，那么从左边界穿出的粒子，在磁场中运动的时间是个定值，还是个范围呢？

在这种情况下，从左边界飞出的粒子，虽然它们在磁场中运动的圆心角都一样，但是周期却都不同了，那么时间就不再是个定值，而是个范围。由于粒子的速度大小不变，所以时间正比于粒子在磁场中运动的轨迹弧长，很容易看出，最长的弧就是与上边界相切的，上面已经求出这种情况下的半径R=，所以从左边界飞出的粒子，时间小于。

总结一下，带电粒子在匀强磁场中的运动，一直都是高中物理的一个重点和难点问题，本文分析了常见的一种情况。有不少资料上分析过放缩圆问题，但基本上都是讲粒子速度大小改变而导致的圆半径改变，很少有讲到磁场变化引起的放缩，这两种情况在计算粒子轨迹的时候方法类似，但涉及到粒子在磁场中运动时间的时候，就一定要非常小心了。

参考文献：

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