线性代数方法在高等数学解题中的应用简析

韦艳刚

摘要：《高等数学》与《线性代数》均是高等院校中许多专业的必修课程，作为高等数学的一个重要分支，线性代数方法在高等数学解题中有着广泛的应用，提高学生在高等数学解题中应用线性代数方法的能力，不仅能够拓展学生的数学思维、加深学生对于高等数学知识的理解，而且还能有效培养学生形成良好的综合数学应用能力、推动学生将线性代数知识和高等数学知识融会贯通，从而减小学生的学习难度，激发学生对于这两门课程的求知和探索热情。为此，有必要分析线性代数方法在高等数学解题中的具体应用领域和应用策略，并探讨提高学生应用线性代数方法解决高等数学问题能力的措施，力求使学生发现线性代数与高等数学的相同之处，增强线性代数及高等数学教学实效性。

关键词：线性代数方法;高等数学解题;应用

作为高等数学的一个重要分支，线性代数所解决的问题主要是线性之间的关系，其与高等数学之间存在着极其密切的联系[1]。比如，线性代数中对于“线性”的定义是“未知变量的次数为一次”，在高等数学中也有类似定义，如一阶线性微分方程等[2]。当前，高等院校在进行这两门课程的教学时，采取的主要方法是分开授课，并不注重实现两门课程的相互渗透，因而未能充分发挥线性代数方法对于提高学生解决高等数学实际问题能力的积极促进作用。针对这一状况，本文主要结合具体实例，分析线性代数方法在高等数学解题中的具体应用领域及相关应用策略，并探讨提高学生应用线性代数方法解决高等数学问题能力的措施。

一、线性代数方法在高等数学解题中的具体应用领域和应用策略

（一）应用线性代数方法解决高等数学中二次曲面方程问题

应用线性代数中的“正交变换”，可以有效解决高等数学中的二次曲面方程间题。二次曲面方程是一类三元二次方程，使用线性代数中而得正交变换方法，可以有效地将二次曲面方程化简为标准形式，从而为判定二次曲面的形状提供便利。线性代数的正交变换方法较高等数学中所给出的旋转或平移化简方法而言具有显著优势，因此可以应用正交变换来有效化简二次曲面方程。例如，对于“将二次曲面方程3x+5y+5z+4xy-4xz-10yz=1化为标准方程”这道高等数学题，就可以先根据其特征根方程求出其特征根，再确定与其特征根相对应的曲面主方向X：Y：Z，然后应用正交变换求出这三各个主径面的标准方程，再依据所得主径面标准方程作坐标变换，分别解出x，y，z的值，然后将x，y，z代入原二次曲面方程，将原二次曲面方程进行化简，从而判断出原二次曲面方程所代表的图形。

（二）应用线性代数方法解决高等数学中的极限问题

在高等数学的数列部分中有一类较难的求数列极限问题，应用线性代数方法可以方便快捷地解决数列的极限问题。比如，在求解“设m和m均大于0，a和a均为已知常数且a+a不等于零而数列{a}满足a=ma +2，试求”这道高等数学中的数列极限题目时就可以使用线性代数方法来解答。

（三）应用线性代数方法解决高等数学中的极梢问题

应用线性代数中的“二次型定理”，结合最大特征值和最小特征值的具体定义，可以有效解决高等数学中的极值问题。具体做法是先根据二次型定理确定最大特征值和最小特征值，然后列出二次型矩阵，以此求函数的极值，或者求函数达到最大值和最小值时函数中各变量的具体取值。例如，求f（m，n）=m-n+3（m+y-3x）的极值这道高等数学函数极值题目时，就可以使用二次型定理及其推导定理来求出其驻点以及矩阵A，再根据矩阵类型判断函数的极值取值。

二、提高学生应用线性代数方法解决高等数学问题能力的具体措施

（一）培养学生的抽象思维能力和逆向思维能力

要想学生在高等数学解题过程中高效应用高等数学解题方法，教师就必须着力培养学生形成抽象思维能力和逆向思维能力[3]，只有这样学生才能全面理解线性代数中的抽象概念和知识，比如向量组、矩阵、线性方程组等。同时，也只有当学生具备抽象思维能力和逆向思维能力之后，他们才能理解这些抽象概念之间的复杂关系，从而顺利完成应用和解题。为此，教师应注意结合线性代数的相关知识创设问题情境，重视引导学生对所提出的问题进行独立思考，比如“通过学习二次型定理在高等数学解题中的应用，你对二次型定理有了什么全新认知？”“通过使用线性代数方法求数列极限，你对于数列极限有了怎样的全新体会？”等，让学生从解题结果反思解题过程，有效培养学生思维。

（二）重视对经典高等数学题进行线性代数方法应用分析

在明确线性代数方法在高等数学中应用领域和应用策略后，教师就可以多选取一些经典例题，在课堂上引导学生一同对这些经典例题展开分析，探讨其中所体现的数学思维和线性代数法应用思路。比如教师可以有针对性地选取二次曲面方程、数列极限和函数极值例题，在课堂上带领学生一同从线性代数的角度出发对这些例题进行分析，比较线性代数方法和高等数学一般方法之间存在的不同，让学生感受线性代数方法的优越性。此外，教师还需要有意识地多为学生布置这几类高等数学题，增加学生实践和应用线性代数方法解决高数问题的机会，促使学生在应用中全面把握这些高等数学题的线性代数解决方法。

（三）重視帮助学生建构线性代数和高等数学知识体系

学习迁移理论强调在整合现有知识的基础上学习新知识并迁移应用旧知识，因此教师要重视帮助学生建构线性代数整体知识体系和高等数学整体知识体系，在此基础上再实现线性代数知识和高等数学知识的衔接和转换，让学生更好地把握两者之间的联系和区别，从而在解决高等数学问题时拓展解题思路，不局限于某一特定方法，而尝试不同的解题思路和解题方法。

三、结束语

总而言之，线性代数在高等数学解题中的主要应用领域是空间解析几何中的二次曲面方程以及求函数极值、数列极限。为了提高学生应用线性代数方法解决高等数学问题的能力，教师应培养学生形成逆向思维和抽象思维能力，并多分析有代表性的经典高等数学题目，让学生举一反三、触类旁通，同时重视帮助学生建构线性代数和高等数学知识体系，拓宽学生的解题思路。

参考文献：

[1]向文，黄友霞.浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性[J].教育教学论坛，2016（32）：196-197.

[2]吴建强.用“升阶法”求解一类一阶线性微分方程——兼谈逆向思维能力的培养[J].高等数学研究，2016（3）：26-28.

[3]赖景东.高等数学解题采用线性代数方法的探讨[J].数学大世界（下旬），2016（1）：39-40.