从比例系数到相似比、三角函数

2019-09-10 07:22徐章韬
关键词:三角函数

摘要:在变量数学的很多关系式中,存在一些相对的常量,集中反映事物的主要特征,可以被称为“特征数字”。有了这些特征数字,人们就可以把事物构造成系列,从最简单、最熟知的事物出发来认识其他事物了。比例系数是一种重要的特征数字,反映了两个变量之间比值不变的特征。学习“正比例函数”时,要多角度地理解比例系数(比值不变),并学会用其来认识相关事物,如单调性和导数、相似比、三角函数等。从比例系数到相似比、三角函数,可以把数学学科核心素养融为一个有机的整体。

关键词:教育数学 比例系数 相似比 三角函数

值得一提的是,相似比、三角函数作为线段之间的除法运算,对于解决线段乘法的问题也非常有用。而面积实际上是两条垂直(正交)的线段之积,故相似比、三角函数也可以看作面积的比值。教育数学中,利用面积比代替线段比来定义三角函数,目的在于利用垂直关系“消点”,而不是揭示不同度量方式之间的关系。

三、“以数驭形”的教学意义

“万物皆数”是古希腊数学家的哲学认识、信念。如何将这种认识、信念转化成数学的、实践的,从上面的分析中大致可见一斑。抓住数量特征,用数字说话,不仅得到了实证科学的认可,而且得到了工程技术领域的广泛应用。比如,解析几何的基本思想就是以數思形,动态几何软件制作动画的精髓就是以数驱形:表面上是图形在变化,实际上是数字在变化。

在教学中,要让学生抓住数字所描述的意义,让数字说话。比如,待定系数法的教学意义就是让学生认识到数字的内在含义,而不是机械地学会待定系数法的步骤。又如,确定线性回归方程的要领在于确定系数,是采用最小二乘法来做的,这与确定性数学里所使用的经验型“两点确定一条直线”的方法有着根本的不同。

从图形到数,是从直观想象走向数学抽象,要逐步学会逻辑推理和数学运算;从数据到数,是从经验走到理性,要逐步积累基于数据表达现实问题,根据数据探索事物本质关联和规律的活动经验,形成通过数据认识事物的思维品质,学会数学建模。从比例系数到相似比、三角函数,可以把数学学科核心素养融为一个有机的整体。

参考文献:

[1] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论(中学教育教学),2019(1).

[2] 张景中,曹培生.从数学教育到教育数学(典藏版)[M].北京:中国少年儿童出版社,2011.

[3] 李兴贵,赖虎强.教育数学概论[M].北京:科学出版社,2018.

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