论小学数学教材中等分除、包含除的关系

佘丹

在小学阶段，关于除法和分数的教学中，我们最常用的情境就是“平均分物”，

例如：（1）把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放几个？

列式为 12÷4=3（个）

（2）把12个竹笋分给一些人，每人分3个，可以分给几个人？

列式为 12÷3=4（个）

这两道题是不同意义的除法，在总数是12的前提下，问题1是知道平均放在4个盘子里，即知道分的份数，用除法计算出每份是多少，我们称之为“等分除”;问题2则是知道每份是多少以后，求平均分到了几个盘子里，即总数里包含了多少份，我们称之为“包含除”。这两种除法是同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等。

而所谓除法，是乘法的逆运算，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。”我们再回头看分竹笋的情境中，竹笋总数=份额×盘数。参与平均分的盘数和每盘的数量，是构成竹笋总数这一乘积的两个平等因数。这样一来，从除法意義上来讲，等分除和包含除，是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，或者说他们是一对双胞胎，关系密不可分。

又例如四年级数学教材中所学的的这个数量关系式：

总价=单价×数量

这两个基本关系都涉及到两个平等的因数相乘，两个基本关系式的变化形式有

单价=总价÷数量

数量=总价÷单价

这两个变式就是等分除和包含除，可以看出两类除法在解决问题中的应用也是均衡的。

首先，等分除和包含除在数学教材和教学中的地位是平等的。

以下是等分除和包含除在人教版教材中的编排，我将教材中的例题进行了归类，总结起来，7道例题9个问题中有4个等分除和5个包含除。

基本上两种除法在除法的运用中，地位是平等的。我认为我们现在使用的这套人教版教材对于两类除法的处理就很好，如二年级下册教材23页中的例题，将两种除法编排在同一页，进行对比区分，并发现他们之间的联系，这样处理就很好地帮学生理解两者。

当然，我们课堂上问学生：“什么时候要用除法？”时，学生多半会回答把一些苹果平均分给几个小朋友，一个小朋友分几个？学生在初学除法时，先入为主地将平均分定义为除法。而我的学生出现这种现象的原因是，我没有在课堂上着重的强调除法分为等分除和包含除，当然，我在之后的课堂里，我还是做了很多补救，比如：在四年级上册的《除数是两位数的除法》教学中，像“有80面彩旗，每班分20面，可以分给几个班？”中，我会有意识地引导学生，将应用题转化成文字题，80里面有几个20，再到80里面包含了几个20。效果还是不错的！

后来，我查阅了很多资料，仔细地研究了等分除和包含除的涵义和关系，还发现当学生说出包含除的含义之后，可以引导学生的思维从列式计算转向对算理的思考，这一发现对于我今后的教学也是很有帮助。

第二，部分到整体的包含除关系，是理解分数的一把钥匙。

再看下面两个问题，

（1）4支铅笔平均分给12个小朋友，每人分得几支铅笔？

（2）一盒铅笔12支，4支铅笔是多少盒？

这两题的列式都是4÷12，可同一个式子表示的意义却不同，（1）题中，依据平均分的数学意义得出，每人分得1/3支，（2）题中，问4支铅笔是多少盒，实际也就是问4支铅笔包含了一盒铅笔（12支）的多大一部分，从除法意义上来讲，就是包含除，问4含有多少个12？

于是，同一个算式4÷12=1/3，它既可以从等分除的角度提问，也可以从包含除的角度提问。只是需要在教学中强化训练，为了使学生容易理解，也可以提一些学生容易理解的问题加以辅助。

综上所述，整数除法中经常问整体中包含了多少个部分，而提问部分中包含了多少个整体时，我们都会用分数表示。实际上这种一个量占另一个量多大份额的问题，是分数单元的核心问题，学生一旦掌握，受用匪浅。

第三，先用图形分析，再用包含除解说，得出分数除法的方法----颠倒相乘。

请看下面两道题，

（1）4/5÷2

（2）4÷1/2

第（1）题中， 4/5÷2，我们可以理解成将4/5平均分成2份，一份是多少？这种很明显是等分除，比较简单。4个1/5平均分成2份，每份是2个1/5，即2/5。而第（2）题4÷1/2，我们不能说成将4平均分成1/2份，但可以问4里面包含了几个1/2，然后通过画图一看，就知道1里面有2个1/2，则4里面有8个1/2。得，

4÷1/2=4×2=8，颠倒相乘法则很容易看出来。

再看我们人教版教材六年级上册“分数除法”单元中的31页，先是用画图的方法进行数量的分析，再用包含除的观点进行讲解计算，而后得出颠倒相乘的方法。这样既直接，学生又容易接受。而著名的美国数学家芒福德也主张用图形的包含关系来获得颠倒相乘的证明。在小学阶段，通过一个实例，观察一个图形，再导出一个解释，比那些生硬的形式化证明更好，学生也更容易接受。

学习了除法以后，到分数，再到分数的除法，以及后面的比与比例，我们一直都会用包含除来解决一些问题，由此可见，包含除在小学数学阶段的教学中，尤为重要。但我们也不能因此而忽视等分除，他们是相辅相成的，二者缺一不可。